PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (Física) da 2ª fase do IME 2022
Seja o sistema composto por polias P1, P2 e P3, uma roda R1, uma corda inextensível C, um cubo B, um laser L e uma câmera fotográfica CF, dispostos conforme a figura acima. Nesse sistema, a face inferior do cubo B é reflexiva e pode ser considerada um espelho plano ideal. Tanto as polias quanto a roda estão fixadas em suas posições, de tal modo que podem girar livremente no plano que contém seus centros e a corda C. As polias P1 e P2 estão ligadas por uma correia, que corre sem deslizar, e a polia P2 e a roda R1 são concêntricas. A câmera fotográfica CF registra fotos do anteparo, a uma taxa de cinco fotos por segundo. Sabe-se que a velocidade angular da polia P1 só pode assumir valores inteiros de 1 até 10\ \text{rad/s}, e que a primeira foto mostra um ponto luminoso.
Dados:
- raio de P1: 40\ \text{cm};
- raio de P2: 3{,}14\ \text{cm};
- raio de P3: desprezível;
- raio de R1: 90\ \text{cm};
- comprimento de C: 9\ \text{m};
- aresta do cubo B: 10\ \text{cm};
- \operatorname{tg}(42^\circ) = 0{,}90;
- \pi = 3{,}14; e
- \pi^2 = 10.
Determine quais valores de velocidade angular da polia P1, em rad/s, farão com que todas as fotos tiradas pela câmara sejam iguais.
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Resolução comentada
Ideia geral. O ponto luminoso só aparece quando o espelho (face inferior de B) intercepta o feixe do laser, e isso só ocorre perto da posição mais baixa do cubo. Para todas as fotos saírem iguais, a roda R1 precisa estar na mesma fase a cada 0{,}2\ \text{s}. Ou seja, ela deve dar um número inteiro de voltas nesse intervalo.
1) Quando o laser atinge o espelho.
O feixe sai a 42^\circ do chão. A 1{,}05\ \text{m} do laser (horizontalmente), sua altura é
A face do cubo tem 10\ \text{cm}, então ela cobre as distâncias horizontais de 1{,}00 a 1{,}10\ \text{m}. O feixe a atinge se a face estiver entre 0{,}90 e 0{,}99\ \text{m} de altura.
2) Posição do cubo.
A corda está presa na borda de R1 (raio 0{,}90\ \text{m}), a 5{,}4\ \text{m} de P3. Quando o ponto de fixação passa mais perto de P3, o trecho inclinado vale 5{,}4-0{,}9=4{,}5\ \text{m}. O trecho vertical vale então 9-4{,}5=4{,}5\ \text{m}.
Como P3 está a 5{,}5\ \text{m} do chão, o topo de B fica a 1{,}0\ \text{m}. A face inferior fica a 0{,}90\ \text{m}, que é justamente o limite inferior da faixa do item 1.
Nas outras posições o cubo sobe, até 2{,}7\ \text{m} para a face inferior, e o feixe passa sem atingi-la. Assim, o ponto só aparece em uma pequena faixa de ângulos de R1 perto do ponto mais baixo, uma vez por volta.
3) Condição das fotos.
A primeira foto mostra o ponto, então R1 está nessa fase. As fotos seguintes, a cada \Delta t = 0{,}2\ \text{s}, só repetem a primeira se R1 estiver exatamente na mesma fase. Para isso, o ângulo girado em \Delta t deve ser um múltiplo de 2\pi:
4) Relação com P1.
A correia une P1 e P2 sem deslizar, então \omega_1 r_1=\omega_2 r_2. Como R1 é concêntrica a P2, \omega_R=\omega_2:
Igualando com o item 3:
5) Valores inteiros de 1 a 10.
2{,}5n é inteiro só para n par. Com n=2, \omega_1=5. Com n=4, \omega_1=10. Com n=6 já daria 15, fora do intervalo.
Resposta: \omega_1 = 5\ \text{rad/s} ou \omega_1 = 10\ \text{rad/s}.
Assuntos: Reflexão da luz e espelhos planos, Movimento circular uniforme e transmissão de movimento.
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Fonte: IME 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗