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Questão 10 (Física) da 2ª fase do IME 2022

Física · Física: Leis de Kepler

Esquema orbital com a estrela S1 e as órbitas dos planetas 1 e 2, com vetores velocidade, raios orbitais R1 e R2, trajetória retilínea da espaçonave e tabela associada de comprimentos de onda para cada cor do espectro visível.

Um sistema planetário hipotético é composto por uma estrela (S1) e dois planetas com órbitas elípticas de excentricidade tão pequenas que são aproximadas por circunferências no mesmo plano. Seus sentidos de translação são opostos, tal que o Planeta 1 (P1) orbita no sentido horário, enquanto o Planeta 2 (P2) no sentido anti-horário.

P2 possui partículas de óxido de ferro em suspensão na sua atmosfera. Essas partículas absorvem a luz de S1 e irradiam uma luz colorida, cujos fótons possuem energia E. O povo de P1 é bastante desenvolvido tecnologicamente e decide lançar uma espaçonave, tangencialmente à sua própria órbita, para visitar P2. Para isso, de forma que chegue ao ponto futuro de P2, mantém uma trajetória retilínea, conforme mostra a figura.

Dados:
• Planeta 1: distância orbital R_1; velocidade orbital escalar v_1 = 60\sqrt{2}\text{ km/s};
• Planeta 2: distância orbital R_2 = 2 \times R_1;
• energia dos fótons: E = 3{,}125 \times 10^{-19}\text{ J};
• espaçonave: gera uma aceleração, a partir de P_1, de a_{\text{e}} = 180\sqrt{2}\text{ m/s}^2, durante 6,4 horas. Depois disso, mantém velocidade constante até se aproximar de P2;
• velocidade da luz no vácuo: c = 3 \times 10^5\text{ km/s}; e
• constante de Planck: h = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J.s}.

Diante do exposto, determine:

a) a velocidade orbital escalar de P2 (v_2), em km/s;

b) a cor da luz emitida por P2, observada de P1, quando ambos os planetas estiverem alinhados com S1 (use a tabela e desconsidere a possibilidade de eclipse); e

c) a cor da luz de P2, observada da espaçonave, quando estiver próxima de P2.

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Resolução comentada

a) Os dois planetas giram em órbita circular em torno de S1, então a gravidade da estrela é a força centrípeta:

\frac{GMm}{R^2}=\frac{mv^2}{R}\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{GM}{R}}\ \Rightarrow\ v\propto\frac{1}{\sqrt R}

Como R_2=2R_1:

v_2=\frac{v_1}{\sqrt2}=\frac{60\sqrt2}{\sqrt2}=60\ \text{km/s}

v_2 = 60\ \text{km/s}

b) Primeiro achamos a cor emitida por P2 (no referencial de P2), a partir da energia do fóton:

\lambda=\frac{hc}{E}=\frac{6{,}63\times10^{-34}\cdot 3\times10^{8}}{3{,}125\times10^{-19}}\approx 6{,}36\times10^{-7}\ \text{m}\approx 636\ \text{nm}

Isso está na faixa do vermelho (625–740 nm).

Quando P1, P2 e S1 estão alinhados, a reta que liga P1 a P2 passa por S1, ou seja, é radial. Os vetores velocidade das órbitas circulares são tangentes, portanto perpendiculares a essa reta. A velocidade relativa ao longo da linha de visada é nula e não há efeito Doppler longitudinal. O efeito transversal é de segunda ordem, da ordem de (v/c)^2\sim10^{-8}, e é desprezível. A cor observada é a emitida.

Vermelho (\lambda\approx 636\ \text{nm})

c) A espaçonave sai de P1 tangencialmente, então já parte com v_1=60\sqrt2\ \text{km/s} na direção da trajetória retilínea. Acelera por 6{,}4\ \text{h}=23\,040\ \text{s}:

\Delta v=180\sqrt2\cdot 23\,040=4\,147\,200\sqrt2\ \text{m/s}=4147{,}2\sqrt2\ \text{km/s}
V=\sqrt2\,(60+4147{,}2)=4207{,}2\sqrt2\approx 5950\ \text{km/s}

Essa velocidade se mantém constante até chegar perto de P2, e a espaçonave se aproxima do planeta. Pela geometria da figura, P2 está a 60^\circ de S1 visto de... mais precisamente, o triângulo S1–P1–P2 tem ângulo reto em P1, com R_1 e R_2=2R_1. Assim, v_2 tem componente de v_2/2=30\ \text{km/s} ao longo da trajetória, vindo ao encontro da nave. A velocidade de aproximação é, então:

v_{rel}\approx 5950+30\approx 5980\ \text{km/s}\ \Rightarrow\ \beta=\frac{v_{rel}}{c}\approx 0{,}0199

Em aproximação, o Doppler é de aproximação, e o comprimento de onda diminui (desvio para o azul):

\lambda'\approx\lambda(1-\beta)\approx 636{,}5\,(1-0{,}0199)\approx 624\ \text{nm}

A fórmula relativística, \lambda'=\lambda\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}, dá o mesmo valor, cerca de 624\ \text{nm}. Esse valor está na faixa do laranja (590–625 nm).

Laranja (\lambda'\approx 624\ \text{nm})

Assuntos: Leis de Kepler, Cinemática vetorial e composição de movimentos.

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Fonte: IME 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗