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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Física) da 2ª fase do IME 2022

Física · Física: Colisões

Esquema de um pêndulo suspenso no ponto fixo A com um objeto O1 na posição B a uma altura vertical y_o em relação à base. O objeto desce em trajetória pendular curva até o ponto C, onde se encontra o objeto O2. Na vertical abaixo de A encontram-se alinhados os pontos E, D e C, separados pelas distâncias d entre E e D, e d entre D e C. O ponto D funciona como novo centro de rotação para a trajetória circular até o ponto E. O vetor da gravidade aponta para baixo.

Um objeto \text{O}_1, preso por um fio ideal, é solto do ponto B. Ao atingir o ponto C, ele se choca de forma totalmente inelástica, colando no objeto \text{O}_2, conforme ilustrado na figura.

Após o choque, o fio encontra o ponto D, que passa a ser o novo centro do movimento pendular do conjunto \text{O}_1 + \text{O}_2.

Dados:
• aceleração da gravidade: g;
• massa de \text{O}_1 = m_1; e
• massa de \text{O}_2 = m_2.

Observações:
• considere que os objetos são partículas; e
• desprezar os atritos e a resistência do ar.

Diante do exposto, determine:

a) a distância y_o mínima indicada na figura, em função de d, m_1, m_2 e g, de modo que o conjunto consiga atingir o ponto E;

b) a velocidade do conjunto \text{O}_1 + \text{O}_2 no ponto E, nas condições do item a; e

c) a tração do fio no ponto C, imediatamente após o choque, nas condições do item a.

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Resolução comentada

a) Primeiro vem a descida de \text{O}_1 de B até C. Sem atrito, a energia mecânica se conserva:

v_1=\sqrt{2gy_o}

No choque totalmente inelástico, a quantidade de movimento se conserva. Os dois corpos saem juntos com velocidade v:

m_1v_1=(m_1+m_2)v \Rightarrow v=\frac{m_1}{m_1+m_2}\sqrt{2gy_o}

Depois do choque, o fio passa a girar em torno de D, em uma circunferência de raio d. O ponto E é o topo dessa circunferência, a 2d de altura em relação a C.

Para o conjunto chegar a E com o fio esticado, a tração no topo precisa ser T_E\ge 0. No caso mínimo, só o peso faz o papel de força centrípeta:

(m_1+m_2)g=(m_1+m_2)\frac{v_E^2}{d}\Rightarrow v_E^2=gd

Conservando a energia de C até E:

\tfrac12 v^2=\tfrac12 v_E^2+g(2d)\Rightarrow v^2=gd+4gd=5gd

Igualando com a velocidade logo após o choque:

\frac{m_1^2}{(m_1+m_2)^2}\,2gy_o=5gd\Rightarrow y_o=\frac{5d}{2}\left(\frac{m_1+m_2}{m_1}\right)^2

y_o=\dfrac{5d\,(m_1+m_2)^2}{2\,m_1^2}

b) Com a condição mínima do item a, o conjunto chega ao topo com o fio no limite de afrouxar:

v_E^2=gd

v_E=\sqrt{gd}

c) Logo após o choque, o conjunto está em C com velocidade v=\sqrt{5gd}. O fio já toca o ponto D, então o raio da trajetória é d e a resultante centrípeta aponta para cima, na direção de D:

T-(m_1+m_2)g=(m_1+m_2)\frac{v^2}{d}=(m_1+m_2)\frac{5gd}{d}=5(m_1+m_2)g
T=6(m_1+m_2)g

T=6(m_1+m_2)g

Assuntos: Colisões, Energia mecânica e sua conservação.

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Ver como caiu na prova Questão 7 no caderno Física da 2ª fase do IME 2022

Fonte: IME 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗