Questão 6 (Física) da 2ª fase do IME 2022

Question

Esquema do espelho de Lloyd com uma fonte luminosa F a uma distância d acima do espelho plano e à distância D do anteparo vertical. Um raio de luz direto vai de F ao ponto P (a uma altura y no anteparo), enquanto outro raio incide sobre o espelho e reflete em direção a P.

No espelho de Lloyd, observa-se em um anteparo a interferência entre a luz que vai da fonte puntiforme F a um ponto P do anteparo e a luz que vai de F a P, após ser refletida num espelho plano. A distância de F ao espelho é d e de F ao anteparo é D.

Dados:
• comprimento de onda da luz: \lambda; e
• D \gg d.

Consideração:
• (1 + u)^\alpha \approx 1 + \alpha u, se |u| \ll 1 (se necessário).

Diante do exposto, determine o menor valor de y, indicado na figura, para que no ponto P haja um máximo de interferência construtiva.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) da 2ª fase do IME 2022

Física · Física: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização

Esquema do espelho de Lloyd com uma fonte luminosa F a uma distância d acima do espelho plano e à distância D do anteparo vertical. Um raio de luz direto vai de F ao ponto P (a uma altura y no anteparo), enquanto outro raio incide sobre o espelho e reflete em direção a P.

No espelho de Lloyd, observa-se em um anteparo a interferência entre a luz que vai da fonte puntiforme F a um ponto P do anteparo e a luz que vai de F a P, após ser refletida num espelho plano. A distância de F ao espelho é d e de F ao anteparo é D.

Dados:
• comprimento de onda da luz: \lambda; e
• D \gg d.

Consideração:
• (1 + u)^\alpha \approx 1 + \alpha u, se |u| \ll 1 (se necessário).

Diante do exposto, determine o menor valor de y, indicado na figura, para que no ponto P haja um máximo de interferência construtiva.

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Resolução comentada

a)

Use o método da imagem. O raio refletido parece vir da imagem F' da fonte, situada a uma distância d abaixo do espelho. Assim, F' fica a d abaixo da base do anteparo, e F fica a d acima.

Os caminhos até P, à altura y e com distância horizontal D, são:

L_1=\sqrt{D^2+(y-d)^2},\qquad L_2=\sqrt{D^2+(y+d)^2}

Como D\gg d (e D \gg y), vale (1+u)^{\alpha}\approx 1+\alpha u com \alpha = 1/2:

L_1\approx D\left[1+\frac{(y-d)^2}{2D^2}\right],\qquad L_2\approx D\left[1+\frac{(y+d)^2}{2D^2}\right]

A diferença de caminhos é:

\Delta L=L_2-L_1\approx\frac{(y+d)^2-(y-d)^2}{2D}=\frac{2yd}{D}

Na reflexão no espelho (meio mais refringente), a onda sofre inversão de fase, ou seja, defasagem de \pi, equivalente a \lambda/2 a mais no caminho. A diferença de caminho efetiva é \Delta L+\lambda/2.

Interferência construtiva exige que essa diferença efetiva seja um número inteiro de comprimentos de onda:

\frac{2yd}{D}+\frac{\lambda}{2}=n\lambda\;\Rightarrow\;\frac{2yd}{D}=\left(n-\frac12\right)\lambda,\quad n=1,2,3,\dots

O menor valor positivo de y corresponde a n=1:

\frac{2yd}{D}=\frac{\lambda}{2}\;\Rightarrow\; y=\frac{\lambda D}{4d}

Observe que y=0 não é máximo: lá a diferença de caminho é nula, mas a inversão de fase gera interferência destrutiva.

Resposta: y_{\min}=\dfrac{\lambda D}{4d}

Assunto: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização.

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Questão 6 no caderno Física da 2ª fase do IME 2022

Fonte: IME 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗