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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Física) da 2ª fase do IME 2020

Física · Física: Potência e rendimento

Diagrama esquemático de um conversor eletromecânico alimentado por uma fonte VT = 100 V em paralelo com um reostato Rc (percorrido por corrente Ic) e em paralelo com outro ramo contendo em série um reostato R1 e um resistor R2 = 9 Ω (percorrido por corrente Ip), acoplado ao eixo do rotor com velocidade angular ω.

A figura mostra o diagrama esquemático de um conversor eletromecânico que transforma a energia elétrica de entrada, fornecida pela fonte V_{\text{T}}, em energia mecânica na saída, utilizada para acionar o eixo do rotor. Nesse conversor, toda a potência dissipada no resistor R_2 é transformada em potência mecânica empregada para acionar o eixo. Sabendo que a velocidade angular do eixo é 1800\text{ rpm}, pede-se:

a) o torque no eixo do conversor, considerando que os reostatos R_1 e R_{\text{C}} estão ajustados em 1\ \Omega e em 50\ \Omega, respectivamente;

b) a nova velocidade de rotação do eixo, em rpm, se o reostato R_1 for ajustado para 2\ \Omega e R_{\text{C}} continuar ajustado em 50\ \Omega, sabendo que o torque no eixo do motor é proporcional ao produto das correntes I_{\text{c}} e I_{\text{p}} ;

c) o que deve ser feito para que o torque desenvolvido pelo eixo, com R_1 ajustado em 2\ \Omega, volte a ser o mesmo das condições de funcionamento do item (a).

d) o rendimento do sistema para as mesmas condições de funcionamento do item (c).

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Resolução comentada

a) O resistor R_2 está em série com R_1, e esse ramo fica sob V_T=100\ \text{V}:

I_p=\frac{100}{1+9}=10\ \text{A}

A potência dissipada em R_2 é toda convertida em potência mecânica:

P=R_2I_p^2=9\cdot 10^2=900\ \text{W}

A velocidade angular é \omega=1800\ \text{rpm}=1800\cdot\frac{2\pi}{60}=60\pi\ \text{rad/s}. Como P=T\omega:

T=\frac{900}{60\pi}=\frac{15}{\pi}\approx 4{,}8\ \text{N·m}

T\approx 4{,}8\ \text{N·m}

b) Com R_1=2\ \Omega, a corrente é I_p'=\frac{100}{11}\ \text{A}\approx 9{,}09\ \text{A}. A corrente I_c=\frac{100}{50}=2\ \text{A} não muda, pois R_c está direto na fonte.

Como T\propto I_cI_p e I_c é constante:

\frac{T'}{T}=\frac{I_p'}{I_p}=\frac{10}{11}

A potência mecânica passa a ser P'=9\left(\frac{100}{11}\right)^2\approx 743{,}8\ \text{W}, então \frac{P'}{P}=\frac{100}{121}. Como P=T\omega:

\frac{\omega'}{\omega}=\frac{P'/P}{T'/T}=\frac{100/121}{10/11}=\frac{10}{11}
\omega'=1800\cdot\frac{10}{11}\approx 1636\ \text{rpm}

\omega'\approx 1636\ \text{rpm}

c) Para recuperar o torque do item (a), o produto I_cI_p deve voltar a 2\cdot10=20\ \text{A}^2. Com I_p'=\frac{100}{11}\ \text{A}:

I_c=\frac{20}{100/11}=2{,}2\ \text{A}

Como R_c=\frac{100}{I_c}:

R_c=\frac{100}{2{,}2}=\frac{500}{11}\approx 45{,}5\ \Omega

Portanto, é preciso diminuir R_c de 50\ \Omega para cerca de 45{,}5\ \Omega (aumentando I_c para 2{,}2\ \text{A}).

d) A potência útil é a mecânica, dissipada em R_2:

P_u=9\left(\frac{100}{11}\right)^2=\frac{90000}{121}\approx 743{,}8\ \text{W}

A potência fornecida pela fonte é:

P_T=V_T(I_c+I_p)=100\left(2{,}2+\frac{100}{11}\right)\approx 100\cdot 11{,}29\approx 1129\ \text{W}

O rendimento é:

\eta=\frac{743{,}8}{1129}\approx 0{,}66

\eta\approx 66\%

Assuntos: Potência e rendimento, Associação de resistores.

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Fonte: IME 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗