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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) da 2ª fase do IME 2020

Física · Física: Empuxo e princípio de Arquimedes

Esquema mostrando uma piscina com um bloco prismático vertical de altura L parcialmente submerso, fixado por cabos horizontais presos à sua base superior B2. Um cabo vai para a esquerda, passando por uma roldana fixa e ligando-se à ponta de uma tampa articulada de comprimento t de um compartimento no piso. O outro cabo vai para a direita, passando por um par de roldanas no gramado e prendendo-se a uma árvore. Da base inferior B1 do bloco, parte um feixe de luz que reflete no fundo da piscina e atinge a quina superior direita no lado A, a uma distância horizontal d do bloco.

Um profissional de iluminação deseja projetar um sistema de feixe de luz capaz de iluminar o fundo reflexível de uma piscina e o gramado posicionado logo após o lado A. Sua ideia é submergir parcialmente um bloco maciço em formato de paralelepípedo reto, com uma fonte luminosa presa em sua base submersa \text{B}_1, que emite um feixe de luz que percorre a trajetória mostrada na figura. O bloco é fixado por dois cabos horizontais presos a sua base não submersa \text{B}_2 e ortogonais ao lado A da piscina, sendo um deles amarrado, por meio de roldanas, na tampa articulada do compartimento onde é guardado o material de limpeza da piscina e o outro, na árvore. Considere que a piscina esteja completamente cheia com água e que a tração aplicada nos cabos seja metade do seu valor máximo para ruptura, especificado pelo fabricante. Calcule:

a) a altura L do bloco;

b) a distância d em que o bloco deve ser posicionado, em relação ao lado A da piscina.

Dados:
• profundidade da piscina: 3\text{ m};
• índice de refração do ar: 1;
• índice de refração da água da piscina: 5/3;
• massa específica da água: 1\text{ g/cm}^3;
• massa específica do material do bloco: 0{,}5\text{ g/cm}^3;
• comprimento t da tampa: 1\text{ m};
• massa da tampa: 8\text{ kg};
• tração máxima até a ruptura nos cabos: 30\text{ N};
• aceleração da gravidade: 10\text{ m/s}^2.

Observações:
• despreze o atrito e as dimensões das quatro roldanas;
• considere a árvore uma estrutura rígida;
• as roldanas estão fixas.

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Resolução comentada

a) Os cabos são horizontais, então não sustentam o bloco na vertical. Na vertical só atuam o peso e o empuxo, e o bloco flutua em equilíbrio.

Com \rho_{bloco}=0{,}5\ \text{g/cm}^3 e \rho_{água}=1\ \text{g/cm}^3, a parte submersa h satisfaz

\rho_{água}\,A\,h\,g=\rho_{bloco}\,A\,L\,g \Rightarrow h=\frac{L}{2}.

Logo, a altura emersa também vale L/2. Falta descobrir essa altura. A base B_2 está na altura da roldana presa à ponta da tampa, porque o cabo é horizontal. A articulação da tampa está no nível da água. Então a altura emersa é t\cos\alpha, em que \alpha é o ângulo da tampa com a vertical.

Cada cabo tem tração T=30/2=15\ \text{N}. O cabo dá uma volta na roldana da ponta da tampa, e os dois trechos puxam a tampa horizontalmente. A força horizontal na ponta é, portanto, 2T=30\ \text{N}.

Torques em relação à articulação (peso de 80\ \text{N} no centro da tampa):

80\cdot\frac{t}{2}\sen\alpha = 2T\cdot t\cos\alpha \Rightarrow 40\sen\alpha=30\cos\alpha \Rightarrow \tg\alpha=\frac34.

Assim, \sen\alpha=0{,}6 e \cos\alpha=0{,}8. A altura emersa é 1\cdot 0{,}8=0{,}8\ \text{m}.

\frac{L}{2}=0{,}8 \Rightarrow L=1{,}6\ \text{m}

L = 1,6 m

b) A fonte está em B_1, a 0{,}8\ \text{m} abaixo da superfície. O feixe desce até o fundo, reflete e sobe até a quina de A, de onde segue rasante ao gramado. Isso significa que o raio refratado forma 90^\circ com a normal, então o ângulo na água é o ângulo limite \theta:

\sen\theta=\frac{n_{ar}}{n_{água}}=\frac{1}{5/3}=0{,}6 \Rightarrow \cos\theta=0{,}8,\quad \tg\theta=0{,}75.

O trecho de descida vai de B_1 ao fundo, com 3-0{,}8=2{,}2\ \text{m} de desnível. O trecho de subida tem 3\ \text{m}. Os dois formam o mesmo ângulo \theta com a vertical (lei da reflexão). O deslocamento horizontal total é

d=(2{,}2+3)\,\tg\theta=5{,}2\cdot0{,}75=3{,}9\ \text{m}

d = 3,9 m

Assuntos: Empuxo e princípio de Arquimedes, Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas, Refração da luz e lei de Snell.

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Ver como caiu na prova Questão 10 no caderno Física da 2ª fase do IME 2020

Fonte: IME 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗