Questão 8 (Física) da 2ª fase do IME 2020

Question

Três esferas de carga Q fixadas nos vértices do triângulo equilátero ABC horizontal de centro O. Um corpo desce verticalmente pela reta que passa por D, E e O sob aceleração da gravidade g. O segmento AE forma ângulo de 30 graus com o segmento AO no plano da base.

A figura apresenta três esferas de cargas positivas Q fixas nos vértices de um triângulo equilátero ABC de centro O e localizado no plano horizontal. Um corpo de massa m, posicionado no ponto D em t = 0, tem a ele grudadas milhares de micropartículas de cargas positivas e massas desprezíveis. O corpo sofre uma queda vertical até o ponto O. No intervalo 0 \le t < 5/3\text{ s}, diversas micropartículas vão se soltando gradativamente do corpo, de modo que sua velocidade permanece constante. O restante das micropartículas desprende-se totalmente em t = 5/3\text{ s}, exatamente no ponto E, no qual o ângulo entre os segmentos AO e AE é de 30^\circ. O corpo continua em movimento até atingir o plano ABC no ponto O em t = 8/3\text{ s}.

Determine:

a) a velocidade do corpo no intervalo 0 \le t < 5/3\text{ s};

b) a altura inicial do corpo (comprimento DO) em t = 0;

c) a carga do corpo imediatamente antes do instante t = 5/3\text{ s}, quando o restante das micropartículas se desprendeu;

d) a carga inicial do corpo em t = 0.

Observações:

considere a massa do corpo constante;
despreze as dimensões do corpo;
ao se desprenderem, as cargas das micropartículas não influenciam no movimento do corpo.

Dados:

massa do corpo: m = 2{,}7\text{ kg};
cargas fixas nos vértices do triângulo: Q = 10^{-4}\text{ C};
aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2;
constante dielétrica do meio: k = 9 \times 10^9\ \text{Nm}^2/\text{C}^2;
comprimentos dos lados do triângulo: L = 24\text{ m}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Física) da 2ª fase do IME 2020

Física · Física: Campo elétrico

Três esferas de carga Q fixadas nos vértices do triângulo equilátero ABC horizontal de centro O. Um corpo desce verticalmente pela reta que passa por D, E e O sob aceleração da gravidade g. O segmento AE forma ângulo de 30 graus com o segmento AO no plano da base.

A figura apresenta três esferas de cargas positivas Q fixas nos vértices de um triângulo equilátero ABC de centro O e localizado no plano horizontal. Um corpo de massa m, posicionado no ponto D em t = 0, tem a ele grudadas milhares de micropartículas de cargas positivas e massas desprezíveis. O corpo sofre uma queda vertical até o ponto O. No intervalo 0 \le t < 5/3\text{ s}, diversas micropartículas vão se soltando gradativamente do corpo, de modo que sua velocidade permanece constante. O restante das micropartículas desprende-se totalmente em t = 5/3\text{ s}, exatamente no ponto E, no qual o ângulo entre os segmentos AO e AE é de 30^\circ. O corpo continua em movimento até atingir o plano ABC no ponto O em t = 8/3\text{ s}.

Determine:

a) a velocidade do corpo no intervalo 0 \le t < 5/3\text{ s};

b) a altura inicial do corpo (comprimento DO) em t = 0;

c) a carga do corpo imediatamente antes do instante t = 5/3\text{ s}, quando o restante das micropartículas se desprendeu;

d) a carga inicial do corpo em t = 0.

Observações:

considere a massa do corpo constante;
despreze as dimensões do corpo;
ao se desprenderem, as cargas das micropartículas não influenciam no movimento do corpo.

Dados:

massa do corpo: m = 2{,}7\text{ kg};
cargas fixas nos vértices do triângulo: Q = 10^{-4}\text{ C};
aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2;
constante dielétrica do meio: k = 9 \times 10^9\ \text{Nm}^2/\text{C}^2;
comprimentos dos lados do triângulo: L = 24\text{ m}.

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Resolução comentada

a) Depois que as micropartículas se soltam (t = 5/3 s), o corpo fica sem carga e cai só sob a gravidade, de E até O, em \Delta t = 8/3 - 5/3 = 1\ \text{s}.

Primeiro achamos a altura de E. O centro O de um triângulo equilátero de lado L = 24\ \text{m} fica a AO = \dfrac{L}{\sqrt3} = 8\sqrt3\ \text{m} de cada vértice. No triângulo retângulo AOE, com ângulo de 30^\circ em A:

EO = AO\,\tg 30^\circ = 8\sqrt3\cdot\frac{1}{\sqrt3} = 8\ \text{m},\qquad AE=\frac{AO}{\cos 30^\circ}=16\ \text{m}

A velocidade em E é a mesma de antes, pois era constante. Na queda livre de E até O:

8 = v\cdot 1 + \frac{10\cdot 1^2}{2}\ \Rightarrow\ v = 3\ \text{m/s}

v = 3 m/s (para baixo)

b) De D até E o movimento é uniforme, durante 5/3\ \text{s}:

DE = 3\cdot\frac53 = 5\ \text{m}

Logo:

DO = DE + EO = 5 + 8 = 13\ \text{m}

DO = 13 m

c) Como a velocidade é constante, a força resultante é nula. A força elétrica vertical (para cima) equilibra o peso: mg = 2{,}7\cdot 10 = 27\ \text{N}.

Cada esfera repele o corpo com F = \dfrac{kQq}{AE^2}, na direção da reta que une a esfera ao corpo. Essa reta faz 30^\circ com a horizontal. Pela simetria, as componentes horizontais das três forças se cancelam, e cada força contribui na vertical com F\,\sen 30^\circ:

3\cdot\frac{kQq}{16^2}\cdot\frac12 = 27\ \Rightarrow\ q=\frac{27\cdot 256\cdot 2}{3\cdot 9\times10^{9}\cdot 10^{-4}}=\frac{4608}{9\times 10^{5}}

q = 5{,}12\times10^{-3}\ \text{C}

q = 5,12 × 10⁻³ C

d) Em D, a distância até cada vértice é:

d=\sqrt{AO^2+DO^2}=\sqrt{192+169}=\sqrt{361}=19\ \text{m}

O seno do ângulo entre a força e a horizontal é \sen\theta = \dfrac{13}{19}. O equilíbrio vertical dá:

3\cdot\frac{kQq_0}{19^2}\cdot\frac{13}{19}=27\ \Rightarrow\ q_0=\frac{9\cdot 19^3}{13\cdot 9\times10^{5}}=\frac{6859}{13}\times10^{-5}

q_0 \approx 5{,}28\times10^{-3}\ \text{C}

q₀ ≈ 5,28 × 10⁻³ C

Assuntos: Campo elétrico, Queda livre e lançamento vertical.

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Questão 8 no caderno Física da 2ª fase do IME 2020

Fonte: IME 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗