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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Física) da 2ª fase do IME 2020

Física · Física: Efeito Doppler

Recipiente retangular de vidro de comprimento L preenchido com gás. À esquerda, um feixe laser (C) ilumina um objeto vertical (D) fixado na parede interna. No interior, sobre um trilho (B), um suporte (A) desloca-se para a direita com velocidade constante, transportando uma lente convergente e uma fonte sonora voltada para a direita. Na parede direita do recipiente, encontram-se a posição (E) para formação de imagem e um detector de som (F).

Um recipiente de vidro contendo gás tem uma lente convergente e uma fonte sonora presas a um suporte (A) que desliza no trilho (B) a velocidade constante. Um feixe laser (C), que ilumina o objeto (D), forma imagens reais nítidas por duas vezes em (E), separadas por uma diferença de tempo \Delta t, sendo que, entre a formação dessas duas imagens, chegam n bips (pulsos sonoros de mesma duração) no detector (F) e n - 1 bips são emitidos pela fonte sonora. Considerando que o comprimento do recipiente é L e a distância focal da lente é f, determine a velocidade do som no gás.

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Resolução comentada

a)

O objeto (D) está na parede esquerda e a imagem (E), na direita, a uma distância L. Se a lente está a uma distância x do objeto, então p = x e p' = L - x.

A equação de Gauss dá:

\frac{1}{x}+\frac{1}{L-x}=\frac{1}{f}\;\Rightarrow\; x^2 - Lx + fL = 0

As duas raízes são as duas posições da lente em que a imagem fica nítida em (E):

x_{1,2}=\frac{L\mp\sqrt{L^2-4fL}}{2}

O suporte percorre, entre as duas imagens, a distância:

d = x_2 - x_1=\sqrt{L^2-4fL}

Como a velocidade é constante e o intervalo é \Delta t:

v=\frac{\sqrt{L^2-4fL}}{\Delta t}

Parte sonora (efeito Doppler). Nesse intervalo \Delta t a fonte emite n-1 bips, então a frequência de emissão é f_s=\dfrac{n-1}{\Delta t}. O detector recebe n bips no mesmo intervalo, então a frequência recebida é f_r=\dfrac{n}{\Delta t}.

A fonte se aproxima do detector (parado) com velocidade v. Sendo v_s a velocidade do som no gás:

f_r=f_s\,\frac{v_s}{v_s-v}\;\Rightarrow\;\frac{n}{n-1}=\frac{v_s}{v_s-v}

Isolando v_s:

n v_s - n v=(n-1)v_s\;\Rightarrow\; v_s = n\,v

Substituindo v:

v_s=\frac{n\sqrt{L^2-4fL}}{\Delta t}

(A condição para existirem as duas posições é L\ge 4f.)

v_s=\dfrac{n\sqrt{L(L-4f)}}{\Delta t}

Assuntos: Efeito Doppler, Lentes esféricas.

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Ver como caiu na prova Questão 7 no caderno Física da 2ª fase do IME 2020

Fonte: IME 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗