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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) da 2ª fase do IME 2020

Física · Física: Força magnética

Representação tridimensional dos eixos cartesianos x, y e z, mostrando o lançamento oblíquo da partícula de massa m e carga +q sob ação da gravidade g a partir da altura h0 no plano z = z0, com ângulo alfa, e o ponto D na coordenada xD sobre o eixo x no plano inferior, onde atua o campo magnético B.

Gráfico do campo magnético B em função do tempo t. O campo é nulo no intervalo de 0 a tf - 5 (ponto A); assume o valor negativo B1 = -m*pi/(9q) no intervalo de tf - 5 a tf - 2 (ponto C); assume o valor positivo B2 de tf - 2 até tf (ponto D); e torna-se nulo a partir de tf.

Uma partícula de massa m e carga elétrica positiva +q é lançada obliquamente com inclinação \alpha, em t = 0, no plano z = z_0, a uma velocidade inicial v_0 a partir da altura y = h_0, conforme ilustra a figura. Em determinado instante de sua trajetória, a partícula é submetida a um campo magnético uniforme \vec{B} = (0, B, 0), cuja intensidade varia ao longo do tempo de acordo com o gráfico. Sabendo que t_f representa o instante em que a partícula encerra seu movimento no ponto \text{D} de coordenadas (x_{\text{D}},0,0), ao atingir o plano xz; que \text{A} e \text{C} designam as posições da partícula, respectivamente, em t = t_f - 5\text{ s} e t = t_f - 2\text{ s}; e que a resistência do ar pode ser desprezada, responda o que se pede:

a) faça um esboço do gráfico da altura y da partícula versus o tempo t, desde seu lançamento até alcançar o ponto \text{D}, explicitando a altura máxima alcançada, a do ponto \text{A} e a do ponto \text{C}, com os correspondentes tempos; e

b) determine as coordenadas x_{\text{C}} e z_{\text{C}} do ponto \text{C}.

Dados:

  • plano de lançamento da partícula z = z_0 = \frac{225\sqrt{3}}{\pi}\text{ m};
  • aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2;
  • velocidade inicial: v_0 = 100\text{ m/s};
  • ângulo de lançamento da partícula: \alpha = 30^\circ;
  • altura inicial da partícula: h_0 = 280\text{ m}.
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Resolução comentada

a)

O campo \vec B está na direção y, então a força magnética é sempre horizontal (perpendicular a \vec B). Assim, o movimento vertical só sofre a gravidade:

y(t)=h_0+v_0\,\sen\alpha\,t-\frac{g t^2}{2}=280+50t-5t^2\ \ (\text{m})
  1. Altura máxima: v_y=0 em t=\dfrac{50}{10}=5\ \text{s}, e y_{máx}=280+250-125=405\ \text{m}.
  2. Chegada ao plano xz (y=0): t^2-10t-56=0, logo t=14\ \text{s}. Então t_f=14\ \text{s}.
  3. Ponto A (t=t_f-5=9\ \text{s}): y_A=280+450-405=325\ \text{m}.
  4. Ponto C (t=t_f-2=12\ \text{s}): y_C=280+600-720=160\ \text{m}.

O esboço é uma parábola com concavidade para baixo. Ela parte de (0;\,280), sobe até o vértice (5\ \text{s};\,405\ \text{m}) e desce passando por A (9\ \text{s};\,325\ \text{m}) e C (12\ \text{s};\,160\ \text{m}), terminando em D (14\ \text{s};\,0).

Gráfico: parábola com y_{máx}=405\ \text{m} em 5\ \text{s}, y_A=325\ \text{m} em 9\ \text{s}, y_C=160\ \text{m} em 12\ \text{s} e y=0 em 14\ \text{s}.

b)

A componente horizontal da velocidade vale v_h=v_0\cos\alpha=50\sqrt3\ \text{m/s}, na direção x. Até t=9\ \text{s} não há campo, então:

x_A=50\sqrt3\cdot 9=450\sqrt3\ \text{m},\qquad z_A=z_0=\frac{225\sqrt3}{\pi}\ \text{m}

De A até C (3\ \text{s}) atua B_1, e a projeção do movimento no plano xz é um arco de circunferência. A velocidade angular é

\omega=\frac{qB_1}{m}=\frac{\pi}{9}\ \text{rad/s}

O ângulo percorrido é \theta=\omega\,\Delta t=\dfrac{\pi}{9}\cdot 3=\dfrac{\pi}{3}=60^\circ.

O raio é

R=\frac{v_h}{\omega}=\frac{50\sqrt3\cdot 9}{\pi}=\frac{450\sqrt3}{\pi}\ \text{m}

Sentido da curva: com \vec v=(v_h,0,0) e B_1<0, \vec F=q\vec v\times\vec B aponta para -z. A partícula curva para -z, e o centro do arco está em z_A-R.

Posição de C:

x_C=x_A+R\,\sen60^\circ=450\sqrt3+\frac{450\sqrt3}{\pi}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=450\sqrt3+\frac{675}{\pi}
z_C=z_A-R(1-\cos60^\circ)=\frac{225\sqrt3}{\pi}-\frac{450\sqrt3}{\pi}\cdot\frac12=0

x_C=450\sqrt3+\dfrac{675}{\pi}\ \text{m}\approx 994\ \text{m} e z_C=0.

Assuntos: Força magnética, Lançamento horizontal e oblíquo, Movimento circular uniforme e transmissão de movimento.

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Fonte: IME 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗