PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Física) da 2ª fase do IME 2020
Um tubo rígido aberto nas extremidades, com seção reta de área constante, é preenchido com um fluido de massa específica \mu_1 até alcançar a altura h_1. O tubo é lacrado em uma das extremidades, conforme ilustra a Figura 1, imediatamente acima de uma válvula, que se encontra fechada, de modo que a coluna de ar também tenha altura h_1 e esteja com a mesma pressão atmosférica externa. A haste da válvula mantém presa uma esfera que se ajusta bem ao duto de saída, com seção reta S_{\text{d}} circular. Um segundo fluido, de massa específica \mu_2 < \mu_1, é lentamente colocado na extremidade aberta até formar uma coluna de altura h_2, conforme mostra a Figura 2. Em determinado instante, a válvula é subitamente aberta, liberando a esfera, que é impulsionada pelo ar comprimido por um breve intervalo de tempo \Delta t, até atingir o ponto P. A esfera percorre o trajeto dentro do duto até alcançar uma mola, de constante elástica k, que se deforma \Delta x. Com relação à situação apresentada, determine:
a) a pressão da coluna confinada de ar, em \text{N/m}^2, supondo a temperatura constante, após a inserção do segundo fluido e antes da abertura da válvula.
b) a força de atrito média a partir do ponto P, em \text{N}, que age na esfera em sua trajetória até alcançar a mola.
Observações:
• considere constante a pressão que impulsiona a esfera durante seu movimento até o ponto P;
• após o ponto P, o interior do duto encontra-se à pressão atmosférica;
• não há força de atrito durante a compressão da mola;
• não há atrito no movimento da esfera entre a válvula e o ponto P.
Dados:
• aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2;
• alturas: h_1 = 1\text{ m}; h_2 = 1{,}75\text{ m}; e h_3 = 4\text{ m};
• ângulo \alpha = 30^\circ;
• área da seção reta do duto: S_{\text{d}} = 1\text{ cm}^2;
• constante elástica da mola: k = 2.000\text{ N/m};
• deformação máxima da mola: = 2,5 cm;
• distância d_1 = 1\text{ m};
• intervalo de tempo que a esfera é impulsionada: \Delta t = 0{,}1\text{ s};
• massa da esfera: m = 50\text{ g};
• massas específicas: \mu_1 = 2.500\text{ kg/m}^3; e \mu_2 = 2.000\text{ kg/m}^3;
• pressão atmosférica local: P_{\text{a}} = 10^5\text{ N/m}^2.
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Resolução comentada
a) Quando o fluido 2 é colocado, o fluido 1 desce x no ramo aberto e sobe x no ramo fechado, porque a seção é constante. O ar fica com altura h_1-x. A diferença de nível entre as superfícies do fluido 1 é 2x.
Igualando as pressões no nível da interface dos fluidos, no ramo aberto:
Com os dados, \mu_2 g h_2=35\,000\ \text{N/m}^2 e \mu_1 g=25\,000\ \text{N/m}^3. Logo:
Como a temperatura é constante, vale a lei de Boyle:
Isso leva a 10x^2-37x+7=0, cujas raízes são x=\dfrac{37\pm33}{20}. A raiz fisicamente possível é x=0{,}2\ \text{m}, pois x<h_1.
Conferindo: 125\,000\cdot0{,}8=100\,000 ✓.
P_{ar}=1{,}25\times10^5\ \text{N/m}^2
b) Até P não há atrito, e a força resultante sobre a esfera vem da diferença de pressão (ar confinado contra atmosfera):
A aceleração é a=F/m=2{,}5/0{,}05=50\ \text{m/s}^2. Em \Delta t=0{,}1\ \text{s}, a velocidade em P é:
A energia cinética em P é \tfrac12 mv^2=\tfrac12(0{,}05)(25)=0{,}625\ \text{J}.
Depois de P, a esfera percorre:
- d_1=1\ \text{m} na horizontal;
- a rampa, de comprimento h_3/\sen30^\circ=8\ \text{m}, com queda de altura h_3=4\ \text{m};
- mais d_1=1\ \text{m} na horizontal, até tocar a mola.
O percurso com atrito é 1+8+1=10\ \text{m}.
A energia armazenada na mola com \Delta x=0{,}025\ \text{m} é \tfrac12 k\Delta x^2=\tfrac12(2000)(6{,}25\times10^{-4})=0{,}625\ \text{J}.
Pelo balanço de energia entre P e a compressão máxima:
A força de atrito média é:
F_{at}=0{,}2\ \text{N}
Assuntos: Pressão hidrostática: Stevin e Pascal, Impulso e quantidade de movimento, Gases ideais e transformações gasosas.
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Fonte: IME 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗