Questão 3 (Física) da 2ª fase do IME 2020

Question

Dois eixos ortogonais X e Y com origem 0. No eixo Y há um cursor conectado a uma mola horizontal de constante k que vai até uma massa esférica m. Da massa m sai uma mola vertical de constante k conectada a outro cursor no eixo X.

Uma partícula, inicialmente em repouso sobre o plano horizontal XY, está presa a duas molas idênticas, cada uma solidária em sua outra extremidade a um cursor que pode movimentar-se sobre seu respectivo eixo, como mostrado na figura. As molas são rígidas o suficiente para se deflexionarem apenas nas direções ortogonais de seus respectivos eixos aos quais estão presas. No instante t = 0, a partícula é puxada para o ponto de coordenadas (\frac{11}{10} L\ ,\ \frac{12}{10} L) e é lançada com velocidade inicial (\frac{\sqrt{3}}{10}\ \omega\ L\ ,\ 0\ ).

Determine:

a) as equações das componentes de posição, velocidade e aceleração da partícula nos eixos X e Y, em função do tempo;

b) a área no interior da trajetória percorrida pela partícula durante o movimento.

Dados:

massa da partícula: m;
constante elástica das molas: k;
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}};
comprimento das molas não flexionadas: L.

Observações:

o plano XY é totalmente liso;
não há influência da gravidade no movimento da partícula;
os cursores deslizam sem atrito pelos eixos;
as coordenadas X e Y da partícula são sempre positivas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) da 2ª fase do IME 2020

Física · Física: Movimento harmônico simples e pêndulos

Dois eixos ortogonais X e Y com origem 0. No eixo Y há um cursor conectado a uma mola horizontal de constante k que vai até uma massa esférica m. Da massa m sai uma mola vertical de constante k conectada a outro cursor no eixo X.

Uma partícula, inicialmente em repouso sobre o plano horizontal XY, está presa a duas molas idênticas, cada uma solidária em sua outra extremidade a um cursor que pode movimentar-se sobre seu respectivo eixo, como mostrado na figura. As molas são rígidas o suficiente para se deflexionarem apenas nas direções ortogonais de seus respectivos eixos aos quais estão presas. No instante t = 0, a partícula é puxada para o ponto de coordenadas (\frac{11}{10} L\ ,\ \frac{12}{10} L) e é lançada com velocidade inicial (\frac{\sqrt{3}}{10}\ \omega\ L\ ,\ 0\ ).

Determine:

a) as equações das componentes de posição, velocidade e aceleração da partícula nos eixos X e Y, em função do tempo;

b) a área no interior da trajetória percorrida pela partícula durante o movimento.

Dados:

massa da partícula: m;
constante elástica das molas: k;
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}};
comprimento das molas não flexionadas: L.

Observações:

o plano XY é totalmente liso;
não há influência da gravidade no movimento da partícula;
os cursores deslizam sem atrito pelos eixos;
as coordenadas X e Y da partícula são sempre positivas.

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Resolução comentada

a) A mola horizontal tem uma ponta num cursor que desliza sobre o eixo Y. Por isso ela fica sempre horizontal e só se deforma na direção X, com alongamento x-L. Do mesmo modo, a mola vertical só se deforma na direção Y, com alongamento y-L. As componentes do movimento ficam desacopladas:

m\ddot x=-k(x-L),\qquad m\ddot y=-k(y-L)

Cada uma é um MHS de frequência angular \omega=\sqrt{k/m}, com centro em L.

Eixo X. Em t=0: x-L=\frac{L}{10} e v_x=\frac{\sqrt3}{10}\omega L. Então

x-L=\frac{L}{10}\cos\omega t+\frac{\sqrt3 L}{10}\sen\omega t=\frac{L}{5}\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{3}\right)

Eixo Y. Em t=0: y-L=\frac{L}{5} e v_y=0. Então y-L=\frac{L}{5}\cos\omega t.

Derivando, obtemos as equações pedidas:

x=L+\frac{L}{5}\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{3}\right),\quad v_x=-\frac{\omega L}{5}\sen\left(\omega t-\frac{\pi}{3}\right),\quad a_x=-\frac{\omega^2 L}{5}\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{3}\right)

y=L+\frac{L}{5}\cos\omega t,\quad v_y=-\frac{\omega L}{5}\sen\omega t,\quad a_y=-\frac{\omega^2 L}{5}\cos\omega t

Conferência: v_x(0)=\frac{\omega L}{5}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{10}\omega L, como no enunciado.

Resposta: as equações acima, com \omega=\sqrt{k/m}.

b) Em relação ao ponto (L,L), os dois movimentos têm mesma amplitude A=\frac{L}{5} e mesma frequência, defasados de \varphi=\frac{\pi}{3}. A trajetória é, portanto, uma elipse.

Para u=A\cos(\theta-\varphi) e v=B\cos\theta, a área da elipse é \pi AB\,\sen\varphi. Com \varphi=\pi/2 ela recai em \pi AB, como esperado.

Aqui:

S=\pi\cdot\frac{L}{5}\cdot\frac{L}{5}\cdot\sen\frac{\pi}{3}=\pi\frac{L^2}{25}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3\,\pi L^2}{50}

Área =\dfrac{\sqrt3\,\pi L^2}{50}\approx 0{,}11\,L^2

Assuntos: Movimento harmônico simples e pêndulos, Cinemática vetorial e composição de movimentos.

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Questão 3 no caderno Física da 2ª fase do IME 2020

Fonte: IME 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗