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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Física) da 2ª fase do IME 2019

Física · Física: Movimento uniformemente variado (MUV)

Braço robótico vertical com duas juntas J1 e J2 e dois braços B1 e B2, ao lado de uma rampa inclinada de 30 graus com altura de 5 m, onde um bloco desliza até o ponto A. A distância horizontal da junta J1 até o ponto A é de 6 m, e o braço B1 tem comprimento de 5 m. A altura do ponto A em relação a J1 é de 2,5√3 m.

A figura acima mostra um braço robótico, com duas juntas (\text{J}_1 e \text{J}_2) e dois braços (\text{B}_1 e \text{B}_2), que é usado para pegar um bloco que é liberado do alto de uma rampa sem atrito, a partir do repouso.

No instante em que o bloco é liberado, a junta \text{J}_1 é acionada com velocidade angular constante \omega_1 = \frac{\pi}{12}\text{ rad/s} e a junta \text{J}_2 é acionada com velocidade angular \omega_2.

Diante do exposto:

a) determine o comprimento do braço \text{B}_2 para que a garra do manipulador alcance o bloco no exato instante em que ele atinge o ponto A;

b) determine a velocidade angular \omega_2, em rad/s, em que a junta \text{J}_2 deverá ser acionada para que a garra do manipulador chegue no ponto A no mesmo instante do bloco; e

c) faça um esboço da configuração final do manipulador, mostrando todas as cotas, no momento em que a garra do manipulador pega o bloco.

Dado:

  • aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2.
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Resolução comentada

a) Primeiro ache o tempo de queda do bloco. A rampa tem altura de 5 m e inclinação de 30°, então seu comprimento é L=\dfrac{5}{\sen 30^\circ}=10\ \text{m}. Sem atrito, a aceleração ao longo da rampa é a=g\sen 30^\circ=5\ \text{m/s}^2. Partindo do repouso:

10=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot t^2 \Rightarrow t=2\ \text{s}

Nesse tempo, \text{J}_1 gira \Delta\theta_1=\omega_1 t=\dfrac{\pi}{12}\cdot 2=\dfrac{\pi}{6}=30^\circ, no sentido horário (em direção ao ponto A). Então \text{B}_1, que começa na vertical, termina inclinado 30° da vertical.

Tomando \text{J}_1 como origem, a junta \text{J}_2 fica em:

\text{J}_2=(5\sen30^\circ,\ 5\cos30^\circ)=(2{,}5;\ 2{,}5\sqrt3)

O ponto A está em (6;\ 2{,}5\sqrt3). Logo \text{J}_2 e A têm a mesma altura, e \text{B}_2 fica horizontal com comprimento:

L_{B_2}=6-2{,}5=3{,}5\ \text{m}

L_{B_2}=3{,}5\ \text{m}

b) No instante final, \text{B}_2 está na horizontal, isto é, girou 90° em relação à vertical inicial, medido no referencial fixo. Desse giro, 30° vêm da rotação de \text{B}_1. A junta \text{J}_2 precisa então girar \text{B}_2 em 90^\circ-30^\circ=60^\circ=\dfrac{\pi}{3}\ \text{rad} em relação a \text{B}_1, também no sentido horário, durante os mesmos 2 s:

\omega_2=\frac{\pi/3}{2}=\frac{\pi}{6}\ \text{rad/s}\approx 0{,}52\ \text{rad/s}

\omega_2=\dfrac{\pi}{6}\ \text{rad/s}

c) Esboço, com \text{J}_1 na origem:

  • \text{J}_1 em (0;0), apoiada na base.
  • \text{B}_1 com 5 m, inclinado 30° em relação à vertical, para a direita (60° com a horizontal). Ele vai até \text{J}_2 em (2{,}5;\ 2{,}5\sqrt3\approx4{,}33).
  • \text{B}_2 horizontal, com 3,5 m, indo de \text{J}_2 até a garra em (6;\ 2{,}5\sqrt3), que coincide com o ponto A.
  • O ângulo interno entre \text{B}_1 e \text{B}_2 em \text{J}_2 é 120°.
  • Cotas: 6 m na horizontal de \text{J}_1 a A; 2{,}5\sqrt3 m na vertical de \text{J}_1 até \text{J}_2 e A; 2,5 m e 3,5 m na horizontal.

A garra agarra o bloco exatamente na quina da rampa, em A.

Configuração: \text{B}_1 a 30° da vertical, \text{B}_2 horizontal de 3,5 m, garra em A.

Assuntos: Movimento uniformemente variado (MUV), Movimento circular uniforme e transmissão de movimento.

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Ver como caiu na prova Questão 8 no caderno Física da 2ª fase do IME 2019

Fonte: IME 2ª fase 2019 · Física. Prova oficial ↗