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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) da 2ª fase do IME 2019

Física · Física: Cinemática vetorial e composição de movimentos

Figura mostrando uma partícula de carga +Q descrevendo uma trajetória circular tracejada de raio r em uma região de campo magnético uniforme B entrando no plano da página (indicado por símbolos ×). No ponto mais à esquerda da trajetória circular encontra-se uma antena. À esquerda da antena, a uma distância horizontal ut, há um espelho plano vertical (com hachuras à esquerda) que se move para a esquerda, indicado por uma seta. Mais à esquerda do espelho, simetricamente à partícula, está representada a imagem da partícula (um círculo preto preenchido), ligada à antena por uma linha tracejada. No canto inferior esquerdo, estão indicados os eixos coordenados x (horizontal para a direita) e y (vertical para cima).

Uma partícula carregada efetua um movimento circular na região onde há um campo magnético, conforme mostra a figura. Durante todo o movimento, uma antena situada no ponto mais à esquerda da trajetória acompanha rigorosamente a imagem da partícula refletida em um espelho plano, que se desloca para a esquerda em velocidade constante, conforme mostra a figura. Em função do tempo t e dos dados da questão, determine:

a) as componentes x e y da posição da imagem da partícula em relação à antena;

b) as componentes x e y da velocidade da imagem da partícula; e

c) a velocidade angular da antena, a partir dos resultados obtidos nos itens anteriores.

Considerações:

  • no instante t = 0, a partícula está no ponto mais à direita da trajetória;
  • no instante t = 0, o espelho parte da posição onde está situada a antena; e
  • despreze o efeito gravitacional.

Dados:

  • carga da partícula: +Q;
  • massa da partícula: m;
  • módulo da velocidade do espelho: u;
  • módulo da densidade de campo magnético da região: B; e
  • raio da trajetória: r.
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Resolução comentada

a) O campo entra no plano (-\hat z) e a carga é positiva. Para a força magnética apontar ao centro quando a partícula está no ponto mais à direita, ela deve girar no sentido anti-horário. De QvB = mv^2/r vem \omega = v/r = QB/m.

Tome a origem no centro da trajetória. A partícula fica em (r\cos\omega t,\ r\,\sen\omega t) e a antena em (-r,0).

O espelho está a uma distância ut à esquerda da antena, no plano x=-r-ut. A imagem tem a mesma ordenada da partícula e abscissa simétrica em relação ao espelho:

x_{img}=2(-r-ut)-r\cos\omega t

Relativa à antena (subtraindo -r):

x=-\left[2ut+r+r\cos\omega t\right],\qquad y=r\,\sen\omega t,\qquad \omega=\frac{QB}{m}

Resposta: x=-\left[2ut+r+r\cos\left(\tfrac{QB}{m}t\right)\right] e y=r\,\sen\left(\tfrac{QB}{m}t\right).

b) A antena está parada, então a velocidade da imagem é a derivada da posição relativa:

v_x=\frac{dx}{dt}=-2u+r\omega\,\sen\omega t,\qquad v_y=\frac{dy}{dt}=r\omega\cos\omega t

Com \omega=QB/m:

Resposta: v_x=-2u+\dfrac{QBr}{m}\sen\left(\dfrac{QB}{m}t\right) e v_y=\dfrac{QBr}{m}\cos\left(\dfrac{QB}{m}t\right).

c) A antena aponta para a imagem. Sua velocidade angular é a da linha antena–imagem, que é a componente de velocidade perpendicular à linha dividida pela distância:

\omega_a=\frac{x\,v_y-y\,v_x}{x^2+y^2}

Seja c=\cos\omega t e s=\sen\omega t. Substituindo x, y, v_x e v_y:

  1. Numerador: -r\omega c\,[r(1+c)+2ut]-rs(-2u+r\omega s)=r\left[2us-r\omega(1+c)-2ut\,\omega c\right], usando c^2+s^2=1.
  2. Denominador: [r(1+c)+2ut]^2+r^2s^2=2r^2(1+c)+4utr(1+c)+4u^2t^2.

O sinal positivo indica sentido anti-horário. Com \omega=QB/m:

\omega_a=\frac{r\left[2u\,s-\omega r(1+c)-2\omega ut\,c\right]}{2r^2(1+c)+4utr(1+c)+4u^2t^2}

Resposta: a expressão acima, com c=\cos\frac{QBt}{m}, s=\sen\frac{QBt}{m} e \omega=\frac{QB}{m}.

Assuntos: Cinemática vetorial e composição de movimentos, Movimento circular uniforme e transmissão de movimento, Força magnética.

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Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Física da 2ª fase do IME 2019

Fonte: IME 2ª fase 2019 · Física. Prova oficial ↗