Questão 2 (Física) da 2ª fase do IME 2019

Question

$Esquema de um tanque contendo líquido e um agitador no fundo. Na parte superior esquerda há uma tubulação com válvula rotulada "entrada 1" e na parte superior direita uma tubulação com válvula rotulada "entrada 2". Na parte inferior direita há uma tubulação com válvula rotulada "saída". À esquerda do tanque, há um circuito de aquecimento composto por uma fonte de tensão contínua $V_{\text{F}}$ em série com um resistor $R_1$ (ambos dentro de uma caixa tracejada rotulada "fonte"), uma chave interruptora aberta e um resistor $R_2$ imerso no interior do tanque.$

Figura 1

$Gráfico da potência $P_{R_2}\ (\text{W})$ no eixo vertical em função do tempo $t\ (\text{min})$ no eixo horizontal. De $0$ a $50\ \text{min}$, a potência é nula. Em $t = 50\ \text{min}$, salta para $200\ \text{W}$ e cresce linearmente até atingir $400\ \text{W}$ em $t = 75\ \text{min}$. De $t = 75\ \text{min}$ a $t = 125\ \text{min}$, decresce linearmente de $400\ \text{W}$ até $280\ \text{W}$. De $t = 125\ \text{min}$ a $t = 150\ \text{min}$, permanece constante em $280\ \text{W}$.$

Figura 2

A Figura 1 ilustra um tanque industrial contendo duas entradas e uma saída, além de um circuito de aquecimento. A temperatura do líquido no interior do tanque deve ser controlada, a fim de alimentar o processo industrial conectado na saída do tanque. O agitador mistura continuamente os líquidos que chegam pelas entradas, de maneira que o volume total de líquido dentro do tanque esteja sempre numa única temperatura. A perda térmica do tanque pode ser desprezada.

Considere o tanque inicialmente vazio, com a válvula de saída fechada e o sistema de aquecimento desligado. Em t = 0 a válvula da entrada 1 é aberta com uma vazão de água de 1\ \text{L/min} à temperatura de 10\ ^\circ\text{C} e a válvula da entrada 2 com uma vazão de água de 0{,}25\ \text{L/min} à temperatura de 30\ ^\circ\text{C}. Nessas condições, determine:

a) a temperatura da água no interior do tanque em t = 50\ \text{min};

b) a temperatura da água no interior do tanque em t = 150\ \text{min}, se o circuito de aquecimento é ligado em t = 50\ \text{min} e a potência dissipada na resistência R_2, P_{R_2}, varia de acordo com o gráfico da Figura 2; e

c) a tensão V_F que deverá ser ajustada na fonte para manter a temperatura da água na saída em 22\ ^\circ\text{C} após um longo tempo de funcionamento do sistema (t >> 150\ \text{min}), sabendo que a válvula da entrada 2 foi fechada, o volume no interior do tanque encontra-se nessa mesma temperatura de 22\ ^\circ\text{C} e a válvula de saída foi aberta com a mesma vazão da válvula da entrada 1.

Dados:

R_1 = 2\ \Omega;
R_2 = 10\ \Omega;
1\ \text{cal} = 4{,}2\ \text{J};
calor específico da água (c) = 1\ \text{cal/g}\ ^\circ\text{C}; e
densidade da água = 1\ \text{kg/L}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) da 2ª fase do IME 2019

Física · Física: Calorimetria: calor sensível e trocas de calor

$Esquema de um tanque contendo líquido e um agitador no fundo. Na parte superior esquerda há uma tubulação com válvula rotulada "entrada 1" e na parte superior direita uma tubulação com válvula rotulada "entrada 2". Na parte inferior direita há uma tubulação com válvula rotulada "saída". À esquerda do tanque, há um circuito de aquecimento composto por uma fonte de tensão contínua $V_{\text{F}}$ em série com um resistor $R_1$ (ambos dentro de uma caixa tracejada rotulada "fonte"), uma chave interruptora aberta e um resistor $R_2$ imerso no interior do tanque.$

Figura 1

$Gráfico da potência $P_{R_2}\ (\text{W})$ no eixo vertical em função do tempo $t\ (\text{min})$ no eixo horizontal. De $0$ a $50\ \text{min}$, a potência é nula. Em $t = 50\ \text{min}$, salta para $200\ \text{W}$ e cresce linearmente até atingir $400\ \text{W}$ em $t = 75\ \text{min}$. De $t = 75\ \text{min}$ a $t = 125\ \text{min}$, decresce linearmente de $400\ \text{W}$ até $280\ \text{W}$. De $t = 125\ \text{min}$ a $t = 150\ \text{min}$, permanece constante em $280\ \text{W}$.$

Figura 2

A Figura 1 ilustra um tanque industrial contendo duas entradas e uma saída, além de um circuito de aquecimento. A temperatura do líquido no interior do tanque deve ser controlada, a fim de alimentar o processo industrial conectado na saída do tanque. O agitador mistura continuamente os líquidos que chegam pelas entradas, de maneira que o volume total de líquido dentro do tanque esteja sempre numa única temperatura. A perda térmica do tanque pode ser desprezada.

Considere o tanque inicialmente vazio, com a válvula de saída fechada e o sistema de aquecimento desligado. Em t = 0 a válvula da entrada 1 é aberta com uma vazão de água de 1\ \text{L/min} à temperatura de 10\ ^\circ\text{C} e a válvula da entrada 2 com uma vazão de água de 0{,}25\ \text{L/min} à temperatura de 30\ ^\circ\text{C}. Nessas condições, determine:

a) a temperatura da água no interior do tanque em t = 50\ \text{min};

b) a temperatura da água no interior do tanque em t = 150\ \text{min}, se o circuito de aquecimento é ligado em t = 50\ \text{min} e a potência dissipada na resistência R_2, P_{R_2}, varia de acordo com o gráfico da Figura 2; e

c) a tensão V_F que deverá ser ajustada na fonte para manter a temperatura da água na saída em 22\ ^\circ\text{C} após um longo tempo de funcionamento do sistema (t >> 150\ \text{min}), sabendo que a válvula da entrada 2 foi fechada, o volume no interior do tanque encontra-se nessa mesma temperatura de 22\ ^\circ\text{C} e a válvula de saída foi aberta com a mesma vazão da válvula da entrada 1.

Dados:

R_1 = 2\ \Omega;
R_2 = 10\ \Omega;
1\ \text{cal} = 4{,}2\ \text{J};
calor específico da água (c) = 1\ \text{cal/g}\ ^\circ\text{C}; e
densidade da água = 1\ \text{kg/L}.

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Resolução comentada

a) Em t=50\ \text{min} ainda não há aquecimento nem saída de água, então basta uma mistura de águas, com o calor cedido igual ao recebido.

A entrada 1 trouxe 1\times 50=50\ \text{L} a 10\ ^\circ\text{C}. A entrada 2 trouxe 0{,}25\times 50=12{,}5\ \text{L} a 30\ ^\circ\text{C}. Como 1\ \text{L} de água tem 1\ \text{kg} e o calor específico é o mesmo, a temperatura de equilíbrio é a média ponderada pelas massas:

T=\frac{50\cdot 10+12{,}5\cdot 30}{62{,}5}=\frac{875}{62{,}5}=14\ ^\circ\text{C}

T = 14\ ^\circ\text{C}

b) Com a saída fechada, em t=150\ \text{min} o tanque contém 150\ \text{L} vindos da entrada 1 (a 10\ ^\circ\text{C}) e 37{,}5\ \text{L} vindos da entrada 2 (a 30\ ^\circ\text{C}). Isso dá 187{,}5\ \text{kg} de água. Além disso, o resistor fornece calor entre 50 e 150\ \text{min}.

A energia dissipada é a área sob o gráfico P\times t:

De 50 a 75\ \text{min}: \frac{200+400}{2}\cdot 1500=450\,000\ \text{J}.
De 75 a 125\ \text{min}: \frac{400+280}{2}\cdot 3000=1\,020\,000\ \text{J}.
De 125 a 150\ \text{min}: 280\cdot 1500=420\,000\ \text{J}.

O total é 1{,}89\times10^{6}\ \text{J}, que equivale a \frac{1{,}89\times 10^6}{4{,}2}=450\,000\ \text{cal}.

O balanço de calor (a perda térmica é desprezada) fica:

150\,000\,(T-10)+37\,500\,(T-30)=450\,000

187\,500\,T=450\,000+1\,500\,000+1\,125\,000=3\,075\,000

T = 16{,}4\ ^\circ\text{C}

c) No regime permanente entra água a 10\ ^\circ\text{C} com 1\ \text{L/min} e sai água a 22\ ^\circ\text{C} com a mesma vazão. A potência do resistor deve aquecer a água que entra em 12\ ^\circ\text{C} a cada minuto:

P=\frac{m c\,\Delta T}{\Delta t}=\frac{1000\cdot 1\cdot 12\cdot 4{,}2}{60}=840\ \text{W}

O resistor R_2 está em série com R_1, então a mesma corrente passa pelos dois:

P=R_2 I^2\Rightarrow I^2=\frac{840}{10}=84\Rightarrow I=\sqrt{84}\approx 9{,}17\ \text{A}

V_F=(R_1+R_2)\,I=12\sqrt{84}=24\sqrt{21}\approx 110\ \text{V}

V_F \approx 110\ \text{V}

Assuntos: Calorimetria: calor sensível e trocas de calor, Potência elétrica e efeito Joule.

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Questão 2 no caderno Física da 2ª fase do IME 2019

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