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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) da 2ª fase do IME 2019

Física · Física: Força elétrica e lei de Coulomb

Diagrama mostrando duas superfícies horizontais paralelas (teto e chão). Dois tirantes de comprimento L partem de um mesmo ponto no teto, formando cada um um ângulo alfa com a vertical, e sustentam duas esferas de massa m1 na mesma altura h em relação ao chão. Um terceiro tirante vertical de comprimento L parte do chão, exatamente na direção vertical abaixo do ponto de fixação no teto, e sustenta uma esfera de massa m2 posicionada acima do nível das esferas m1.

A figura acima mostra um sistema em equilíbrio composto por três corpos presos por tirantes de comprimento L cada, carregados com cargas iguais a Q. Os corpos possuem massas m_1 e m_2, conforme indicados na figura. Sabendo que o tirante conectado à massa m_2 não está tensionado, determine os valores de m_1 e m_2 em função de k e Q.

Dados:

  • constante dielétrica do meio: k\ [\text{Nm}^2/\text{C}^2];
  • carga elétrica dos corpos: Q\ [\text{C}];
  • comprimento dos tirantes: L = 2\ \text{m};
  • altura: h = \left(2 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\ \text{m};
  • aceleração da gravidade: g = 10\ \text{m/s}^2; e
  • \alpha = 30^\circ.
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Resolução comentada

a)

Primeiro a geometria, tomando como origem o ponto de fixação no teto.

  • Cada m_1 está a L\cos 30^\circ=\sqrt3\ \text{m} abaixo do teto e a L\sen 30^\circ = 1\ \text{m} da vertical central.
  • Distância entre as duas m_1: 2\ \text{m}.
  • O teto está a h+\sqrt3 = 2+\frac{2\sqrt3}{3}\ \text{m} do chão.
  • A massa m_2 está a L=2\ \text{m} do chão (tirante vertical), logo \frac{\sqrt3}{3}\ \text{m} acima das m_1.
  • Distância entre m_2 e cada m_1: d=\sqrt{1^2+\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt3}{3}\ \text{m}.
  • A reta que liga m_1 a m_2 faz 30^\circ com a horizontal, pois \tg\theta=\frac{\sqrt3/3}{1}.

As forças elétricas são repulsivas, porque as cargas são iguais:

F_{12}=\frac{kQ^2}{d^2}=\frac{3kQ^2}{4},\qquad F_{11}=\frac{kQ^2}{2^2}=\frac{kQ^2}{4}

Equilíbrio de m_2. O tirante está frouxo, então só atuam o peso e as duas repulsões vindas das m_1. As componentes horizontais se cancelam. As verticais, para cima, valem F_{12}\sen30^\circ cada uma:

m_2 g = 2\cdot\frac{3kQ^2}{4}\cdot\frac12=\frac{3kQ^2}{4}\ \Rightarrow\ m_2=\frac{3kQ^2}{40}

Equilíbrio de m_1. Atuam o peso, a tração T (a 30^\circ da vertical, em direção ao teto), a repulsão F_{11} (horizontal, para fora) e a repulsão de m_2, que empurra m_1 para fora e para baixo, com componentes F_{12}\cos30^\circ e F_{12}\sen30^\circ.

  1. Horizontal: T\sen30^\circ = F_{11}+F_{12}\cos30^\circ, ou seja, \dfrac T2=\dfrac{kQ^2}{4}+\dfrac{3\sqrt3kQ^2}{8}. Daí T=\dfrac{kQ^2(2+3\sqrt3)}{4}.
  2. Vertical: T\cos30^\circ = m_1 g+F_{12}\sen30^\circ, ou seja, \dfrac{kQ^2(2\sqrt3+9)}{8}=m_1 g+\dfrac{3kQ^2}{8}.
  3. Então m_1 g=\dfrac{kQ^2(2\sqrt3+6)}{8}=\dfrac{kQ^2(3+\sqrt3)}{4}.

Com g=10\ \text{m/s}^2:

m_1=\frac{(3+\sqrt3)\,kQ^2}{40},\qquad m_2=\frac{3\,kQ^2}{40}

Resposta final: m_1=\dfrac{(3+\sqrt3)kQ^2}{40} e m_2=\dfrac{3kQ^2}{40} (em kg, com k em \text{Nm}^2/\text{C}^2 e Q em C).

Assuntos: Força elétrica e lei de Coulomb, Equilíbrio do ponto material.

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Fonte: IME 2ª fase 2019 · Física. Prova oficial ↗