Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do IME 2018

a) Como |x|^3=|x^3| e x^2=|x|^2, a inequação depende só de |x|. Faça t=|x|\ge 0:

Procure uma raiz inteira entre os divisores de 2. Para t=2: 16-24+6+2=0, então t=2 é raiz. Dividindo por (t-2):

As raízes de 2t^2-2t-1 são t=\dfrac{2\pm\sqrt{12}}{4}=\dfrac{1\pm\sqrt3}{2}.

As três raízes do polinômio são \dfrac{1-\sqrt3}{2}\approx-0{,}37, \dfrac{1+\sqrt3}{2}\approx1{,}37 e 2.

Como o coeficiente de t^3 é positivo, o polinômio é negativo para t<\dfrac{1-\sqrt3}{2} e para \dfrac{1+\sqrt3}{2}<t<2.

Como t=|x|\ge0, a primeira região não serve. Resta:

Verificação com t=1{,}5: 6{,}75-13{,}5+4{,}5+2=-0{,}25<0 ✓.

Voltando para x, essa condição vale para x positivo ou negativo:

Solução: S=\left(-2,-\dfrac{1+\sqrt3}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1+\sqrt3}{2},2\right)

Assuntos: Função modular, Inequações e desigualdades.

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