Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do IME 2018

a) Primeiro, simplifique o fator iz-1. Como iz-1=i(z+i) e 2017=4\cdot 504+1, temos i^{2017}=i. Logo:

A equação fica

Módulos. Como |-1+i\sqrt3|=2, tomando o módulo dos dois lados obtemos |z-i|^{2017}=|z+i|^{2017}. Então |z-i|=|z+i|, ou seja, z é equidistante de i e -i. Isso significa que z está no eixo real. (Note que z=-i não serve, pois anularia o lado direito e não o esquerdo.)

Com |z|=\frac{\sqrt3}{3}, os candidatos são z=\pm\frac{\sqrt3}{3}.

Argumentos. Dividindo a equação por (z+i)^{2017}, com w=\dfrac{z-i}{z+i}:

Testando cada candidato:

1. z=\frac{\sqrt3}{3}: z-i tem argumento -\frac{\pi}{3} e z+i tem argumento \frac{\pi}{3}. Então w=e^{-i2\pi/3}. Como 2017=3\cdot 672+1, w^{2017}=e^{-i2\pi\cdot 2017/3}=e^{-i2\pi/3}\neq e^{i2\pi/3}. Não serve.
2. z=-\frac{\sqrt3}{3}: z-i tem argumento -\frac{2\pi}{3} e z+i tem argumento \frac{2\pi}{3}. Então w=e^{-i4\pi/3}=e^{i2\pi/3}. Logo w^{2017}=e^{i2\pi\cdot2017/3}=e^{i2\pi/3}, que é exatamente o necessário. Serve.

Resposta: z=-\dfrac{\sqrt3}{3}

Assunto: Números complexos.

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