PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017
Seja M uma matriz real 2x2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição seguinte no sentido horário, ou seja, se M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, implica que f(M) = \begin{pmatrix} c & a \\ d & b \end{pmatrix}. Encontre todas as matrizes simétricas 2x2 reais na qual M^2 = f(M).
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Resolução comentada
a) Como M é simétrica, M=\begin{pmatrix} a & b \\ b & d\end{pmatrix}, e então f(M)=\begin{pmatrix} b & a \\ d & b\end{pmatrix}.
Calculando o quadrado:
Igualando M^2=f(M) entrada a entrada, obtemos:
- a^2+b^2=b
- b(a+d)=a
- b(a+d)=d
- b^2+d^2=b
Das equações 2 e 3 sai a=d. Substituindo em 2: 2ab=a, ou seja, a(2b-1)=0. As equações 1 e 4 passam a ser a mesma: a^2+b^2=b.
Caso a=0: então d=0 e b^2=b, logo b=0 ou b=1. Isso dá M=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} ou M=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.
Conferindo a segunda: M^2=I e f(M)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I. ✓
Caso b=\tfrac12: então a^2+\tfrac14=\tfrac12, ou seja, a^2=\tfrac14 e a=d=\pm\tfrac12. Isso dá M=\begin{pmatrix}\tfrac12&\tfrac12\\ \tfrac12&\tfrac12\end{pmatrix} ou M=\begin{pmatrix}-\tfrac12&\tfrac12\\ \tfrac12&-\tfrac12\end{pmatrix}.
Conferindo a segunda: M^2=\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac12\\-\tfrac12&\tfrac12\end{pmatrix}=f(M). ✓
São exatamente quatro matrizes:
\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\tfrac12&\tfrac12\\ \tfrac12&\tfrac12\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-\tfrac12&\tfrac12\\ \tfrac12&-\tfrac12\end{pmatrix}.
Assunto: Matrizes e determinantes.
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Fonte: IME 2ª fase 2017 · Matemática. Prova oficial ↗