Questão 34 da FUVEST 2027

Question

Considere a equação f(x) = \frac{2e^{x^2}+C}{3Ce^{-x^2/2}} em que f é uma função real para todo número real x e uma constante C > 0. Com base na função f e na constante C, pode-se afirmar:

A
f(0) = 1 e f(x) = 0, para algum número real x e para C = 1.
B
f(0) = 1 e f(x) = f(-x), para todo número real x e para um C > 0.
C
f(0) > 1 e f(x) < f(-x), para todo número real x e para todo C > 0.
D
f(1) < 0 e f(x) = f(-x), para algum número real x e para C = 1.
E
f(1) = 0 e f(x) > f(-x), para todo número real x e para algum C > 0.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 34 da FUVEST 2027

1ª fase · Matemática: Função exponencial

Considere a equação f(x) = \frac{2e^{x^2}+C}{3Ce^{-x^2/2}} em que f é uma função real para todo número real x e uma constante C > 0. Com base na função f e na constante C, pode-se afirmar:

A
f(0) = 1 e f(x) = 0, para algum número real x e para C = 1.
B
f(0) = 1 e f(x) = f(-x), para todo número real x e para um C > 0.
C
f(0) > 1 e f(x) < f(-x), para todo número real x e para todo C > 0.
D
f(1) < 0 e f(x) = f(-x), para algum número real x e para C = 1.
E
f(1) = 0 e f(x) > f(-x), para todo número real x e para algum C > 0.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Primeiro, simplifique a função: f(x)=\dfrac{2e^{x^2}+C}{3C\,e^{-x^2/2}}=\dfrac{(2e^{x^2}+C)\,e^{x^2/2}}{3C}.

Observe que x aparece só como x^2, e (-x)^2=x^2. Logo f(-x)=f(x) para todo x e todo C>0: a função é par.

Agora calcule f(0):

e^{0}=1, então o numerador vale 2\cdot1+C=2+C.
O denominador vale 3C\cdot e^{0}=3C.
Assim, f(0)=\dfrac{2+C}{3C}.

Para f(0)=1: 2+C=3C, logo C=1. Então existe um C>0 (o C=1) tal que f(0)=1 e f(x)=f(-x) para todo x. Isso é exatamente a alternativa B.

Confira as demais:

A: com C=1, f(x)=(2e^{x^2}+1)e^{x^2/2}/3>0, nunca zero.
C: f(x)<f(-x) é falso, pois são iguais.
D: f(x)>0 sempre, pois numerador e denominador são positivos; então f(1)<0 é falso.
E: f(1)>0 e f(x)>f(-x) é falso.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom C = 1, f(x) é sempre positiva, então nunca se anula.
Cf é par, logo f(x) = f(-x); a desigualdade estrita é falsa (e f(0)>1 não vale para todo C).
DNumerador e denominador são positivos, então f(1) > 0, nunca negativo.
Ef(1) é positivo, não zero, e f(x) = f(-x), não maior.

Assuntos: Função exponencial, Conceito de função, composta e inversa.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova