Questão 89 da FUVEST 2023

Question

Considere a região do plano cartesiano

A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: |x| + |y| \le 1\}

esboçada na figura.

Plano cartesiano com eixos x e y mostrando a Região A hachurada, cujos vértices estão nos pontos (-1, 0), (0, 1), (1, 0) e (0, -1).

Dado B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: (x + 1)^2 + y^2 \ge 1\}, a área da região A \cap B é:

A
2 - \frac{\pi}{4}
B
2 - \frac{\pi}{2}
C
4 + \frac{\pi}{2}
D
4 - \frac{\pi}{4}
E
2 + \frac{\pi}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 89 da FUVEST 2023

1ª fase · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Considere a região do plano cartesiano

A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: |x| + |y| \le 1\}

esboçada na figura.

Plano cartesiano com eixos x e y mostrando a Região A hachurada, cujos vértices estão nos pontos (-1, 0), (0, 1), (1, 0) e (0, -1).

Dado B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: (x + 1)^2 + y^2 \ge 1\}, a área da região A \cap B é:

A
2 - \frac{\pi}{4}
B
2 - \frac{\pi}{2}
C
4 + \frac{\pi}{2}
D
4 - \frac{\pi}{4}
E
2 + \frac{\pi}{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A região A é um quadrado de vértices (\pm1,0) e (0,\pm1). Sua diagonal mede 2, então o lado mede \sqrt{2} e a área é (\sqrt2)^2=2.

A região B é o conjunto dos pontos com (x+1)^2+y^2\ge 1, isto é, tudo o que está fora do círculo de centro (-1,0) e raio 1. Logo A\cap B é o quadrado menos a parte dele que fica dentro desse círculo.

O centro (-1,0) é um vértice do quadrado. Os lados que saem desse vértice vão até (0,1) e (0,-1), e ambos estão a distância \sqrt{(1)^2+1^2}=\sqrt2 do centro, maior que o raio. Então o círculo não alcança esses vértices. Vamos ver a parte do círculo dentro do quadrado.

Os lados que saem de (-1,0) têm retas y=x+1 e y=-x-1, que formam ângulo de 90^\circ no vértice (as diagonais do quadrado são perpendiculares aos eixos e os lados fazem 45^\circ com o eixo x). Assim, dentro do quadrado fica um setor circular de 90^\circ e raio 1, com área:

\frac{1}{4}\pi\cdot1^2=\frac{\pi}{4}

Conferindo: esse setor cabe inteiro no quadrado, pois a distância do centro ao lado oposto é grande e o arco vai de y=x+1 a y=-x-1 sem sair.

Área pedida:

2-\frac{\pi}{4}

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem toma o lado do quadrado como 2 (área 4) em vez de notar que 2 é a diagonal.

Por que as outras alternativas estão erradas

Busa o semicírculo (área \pi/2), mas o ângulo do setor dentro do quadrado é 90^\circ, não 180^\circ.
Csoma em vez de subtrair e erra a área do quadrado.
Dusa área 4 para o quadrado, confundindo a diagonal 2 com o lado.
Esoma o setor e usa o semicírculo, em vez de subtrair o quarto de círculo.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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