Questão 88 da FUVEST 2023

Question

Um ladrilhamento é chamado de uniforme se é composto por polígonos regulares que preenchem todo o plano sem sobreposição e, além disso, o padrão é o mesmo em cada vértice. Para classificá-los, utilizamos uma notação dada por uma sequência de números que é definida desta forma: escolhemos um vértice qualquer e indicamos o número de lados de cada polígono que contém este vértice, seguindo o sentido anti-horário, iniciando com os polígonos de menos lados, conforme os exemplos:

Dois exemplos de ladrilhamento uniforme: o primeiro composto por triângulos e hexágonos com notação (3.3.3.3.6); o segundo composto por triângulos e hexágonos com notação (3.6.3.6).

A foto mostra o piso de um museu em Sevilha.

Fotografia do piso de um museu em Sevilha composto por ladrilhos poligonais de mármore colorido.

A notação que representa o padrão do ladrilhamento do piso é:

A
(3 . 3 . 3 . 4)
B
(3 . 3 . 4 . 6)
C
(3 . 4 . 4 . 4)
D
(3 . 4 . 4 . 6)
E
(3 . 4 . 6 . 4)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 88 da FUVEST 2023

1ª fase · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Um ladrilhamento é chamado de uniforme se é composto por polígonos regulares que preenchem todo o plano sem sobreposição e, além disso, o padrão é o mesmo em cada vértice. Para classificá-los, utilizamos uma notação dada por uma sequência de números que é definida desta forma: escolhemos um vértice qualquer e indicamos o número de lados de cada polígono que contém este vértice, seguindo o sentido anti-horário, iniciando com os polígonos de menos lados, conforme os exemplos:

Dois exemplos de ladrilhamento uniforme: o primeiro composto por triângulos e hexágonos com notação (3.3.3.3.6); o segundo composto por triângulos e hexágonos com notação (3.6.3.6).

A foto mostra o piso de um museu em Sevilha.

Fotografia do piso de um museu em Sevilha composto por ladrilhos poligonais de mármore colorido.

A notação que representa o padrão do ladrilhamento do piso é:

A
(3 . 3 . 3 . 4)
B
(3 . 3 . 4 . 6)
C
(3 . 4 . 4 . 4)
D
(3 . 4 . 4 . 6)
E
(3 . 4 . 6 . 4)

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Em cada vértice de um ladrilhamento uniforme, os ângulos internos dos polígonos que se encontram ali somam 360^\circ. Os ângulos são: triângulo 60^\circ, quadrado 90^\circ, hexágono 120^\circ.

Na foto há hexágonos (vermelhos), quadrados (brancos) e triângulos (azuis escuros). Em cada vértice aparecem um triângulo, um quadrado, um hexágono e outro quadrado, e o padrão é o mesmo em todos eles. Isso dá quatro polígonos por vértice.

Confirmando com a soma dos ângulos:

Triângulo: 60^\circ
Quadrado: 90^\circ
Hexágono: 120^\circ
Quadrado: 90^\circ

60^\circ + 90^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ

A soma fecha, então a combinação é possível.

Agora a ordem. A notação começa pelo polígono de menos lados e segue em sentido anti-horário. Olhando o vértice, o hexágono fica entre dois quadrados, e o triângulo fica entre os dois quadrados, do lado oposto ao hexágono. Então os dois quadrados nunca são vizinhos: estão separados pelo triângulo de um lado e pelo hexágono do outro. A sequência é 3.4.6.4.

A alternativa D, 3.4.4.6, também soma 360^\circ, mas põe os dois quadrados lado a lado, o que não acontece na foto.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D tem os mesmos polígonos da E e também soma 360^\circ; só a ordem em torno do vértice as diferencia.

Por que as outras alternativas estão erradas

A60+60+60+90=270^\circ, não fecha 360^\circ, e não há só triângulos e quadrados.
B60+60+90+120=330^\circ, não completa 360^\circ.
C60+90+90+90=330^\circ, não fecha o vértice e não tem hexágono.
DSoma 360^\circ, mas coloca os dois quadrados adjacentes; na foto o triângulo e o hexágono os separam.

Assuntos: Ângulos, polígonos e quadriláteros, Transformações geométricas e localização.

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