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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 85 da FUVEST 2023

1ª fase · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

A FIFA (Federação Internacional de Futebol) implementou, em 2018, a versão mais recente do ranking das seleções. Suponha que as seleções A e B, com pontuações P_A e P_B, respectivamente, disputarão uma final de Copa do Mundo. A pontuação atualizada da seleção A após a partida será dada por

P'_A = P_A + 60(V_A - E_A),

onde

E_A = \frac{10^{\frac{P_A-P_B}{600}}}{1 + 10^{\frac{P_A-P_B}{600}}}

e o valor de V_A depende do resultado da partida de acordo com a tabela:

Resultado da partida Valor de V_A
Vitória de A 1
Empate 0,5
Derrota de A 0

Sabendo que P_A - P_B = 360, se a seleção A vencer a partida, sua pontuação aumentará em

  1. A
    6 pontos.
  2. B
    10 pontos.
  3. C
    12 pontos.
  4. D
    15 pontos.
  5. E
    20 pontos.
Note e adote:
\log_{10}2 = 0{,}3
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O aumento de pontos é P'_A - P_A = 60(V_A - E_A). Precisamos, então, de E_A e de V_A.

  1. Vitória de A: V_A = 1.

  2. Expoente: \frac{P_A-P_B}{600} = \frac{360}{600} = 0{,}6.

  3. Calculamos 10^{0{,}6} usando \log_{10}2 = 0{,}3. Como 0{,}6 = 2\cdot 0{,}3, temos 10^{0{,}6} = 10^{2\log_{10}2} = 10^{\log_{10}4} = 4.

  4. Então:

E_A = \frac{4}{1+4} = \frac{4}{5} = 0{,}8.
  1. Aumento:
60(1 - 0{,}8) = 60 \cdot 0{,}2 = 12.

A ideia é que E_A mede a expectativa de vitória de A: como A é muito melhor no ranking, espera-se que vença (80%). Por isso, vencer rende poucos pontos extras, apenas pela diferença entre o resultado (1) e a expectativa (0{,}8).

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa V_A - E_A = 0{,}1, o que não decorre dos dados (daria E_A=0{,}9, erro no valor de 10^{0,6}).
  • BCorresponde a V_A-E_A\approx 0{,}167, que seria E_A\approx 0{,}833, valor sem base na conta correta.
  • DCorresponde a V_A-E_A=0{,}25, ou seja E_A=0{,}75, que não sai de 10^{0,6}=4.
  • ECorresponde a V_A-E_A=1/3, ou seja E_A=2/3, que viria de 10^{0,6}=2, erro ao usar \log 2 diretamente.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Função exponencial.

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