Questão 9 da FUVEST 2021

Question

Trapézio retângulo com base inferior AC e base superior DE paralelas e CD perpendicular a elas. O triângulo equilátero ABE tem base AB sobre AC, com lado AE medindo 6. O ponto F é o ponto médio de AB, a distância de B a C é 10, e um segmento tracejado liga F a D.

Na figura, os segmentos AC e DE são paralelos entre si e perpendiculares ao segmento CD; o ponto B pertence ao segmento AC; F é o ponto médio do segmento AB; e ABE é um triângulo equilátero. Além disso, o segmento BC mede 10 unidades de comprimento e o segmento AE mede 6 unidades de comprimento. A medida do segmento DF, em unidades de comprimento, é igual a

A
14.
B
15.
C
16.
D
17.
E
18.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 da FUVEST 2021

1ª fase · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Trapézio retângulo com base inferior AC e base superior DE paralelas e CD perpendicular a elas. O triângulo equilátero ABE tem base AB sobre AC, com lado AE medindo 6. O ponto F é o ponto médio de AB, a distância de B a C é 10, e um segmento tracejado liga F a D.

Na figura, os segmentos AC e DE são paralelos entre si e perpendiculares ao segmento CD; o ponto B pertence ao segmento AC; F é o ponto médio do segmento AB; e ABE é um triângulo equilátero. Além disso, o segmento BC mede 10 unidades de comprimento e o segmento AE mede 6 unidades de comprimento. A medida do segmento DF, em unidades de comprimento, é igual a

A
14.
B
15.
C
16.
D
17.
E
18.

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Resolução comentada

Como ABE é equilátero de lado 6, temos AB = 6 e AE = BE = 6. Como F é o ponto médio de AB, AF = FB = 3.

A altura do triângulo equilátero de lado \ell é \dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}. Então a altura de E em relação a AC é:

h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}

Como DE é paralelo a AC e CD é perpendicular a ambos, a distância entre as retas AC e DE é constante. Logo CD = h = 3\sqrt{3}.

Agora, o segmento FC mede:

FC = FB + BC = 3 + 10 = 13

O triângulo FCD é retângulo em C, com catetos FC = 13 e CD = 3\sqrt{3}. Pelo teorema de Pitágoras:

DF^2 = FC^2 + CD^2
DF^2 = 13^2 + (3\sqrt{3})^2
DF^2 = 169 + 27 = 196
DF = 14

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BResultado que não decorre de 13^2+(3\sqrt{3})^2; provavelmente erro no cálculo da altura ou da soma dos quadrados.
CNão corresponde a \sqrt{196}; vem de erro na altura do triângulo ou no valor de FC.
DNão corresponde a \sqrt{196}; vem de erro na altura do triângulo ou no valor de FC.
EValor grande demais; ignora a raiz ou usa medidas erradas, sem respeitar DF^2=196.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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