Questão 10 da FUVEST 2021
A região hachurada do plano cartesiano xOy contida no círculo de centro na origem O e raio 1, mostrada na figura, pode ser descrita por
| Note e adote: |
|---|
| O círculo de centro O e raio 1 é o conjunto de todos os pontos do plano que estão a uma distância de O menor do que ou igual a 1. |
- A\{(x, y); x^2 + y^2 \leq 1 \text{ e } y - x \leq 1\}.
- B\{(x, y); x^2 + y^2 \geq 1 \text{ e } y + x \geq 1\}.
- C\{(x, y); x^2 + y^2 \leq 1 \text{ e } y - x \geq 1\}.
- D\{(x, y); x^2 + y^2 \leq 1 \text{ e } y + x \geq 1\}.
- E\{(x, y); x^2 + y^2 \geq 1 \text{ e } y + x \leq 1\}.
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Resolução comentada
A região hachurada fica dentro do círculo, então vale x^2+y^2\leq 1. Isso já elimina as alternativas B e E, que usam \geq 1 (pontos fora do círculo).
Falta descrever o lado da reta que passa por (-1,0) e (0,1).
- Coeficiente angular: m=\dfrac{1-0}{0-(-1)}=1.
- Equação da reta: y=x+1, ou seja, y-x=1.
- A região hachurada fica acima dessa reta, do lado oposto à origem.
- Teste com a origem (0,0): y-x=0, e 0<1. A origem está abaixo da reta e fora da região, então ela satisfaz y-x<1. A região pedida é, portanto, o outro lado: y-x\geq 1.
- Confirmação com um ponto da região, como (-0{,}5;\,0{,}9): ele está dentro do círculo, pois 0{,}25+0{,}81=1{,}06 não serve, então tomamos (-0{,}6;\,0{,}9), que dá 0{,}36+0{,}81=1{,}17, também não serve. Escolhendo (-0{,}7;\,0{,}7): 0{,}49+0{,}49=0{,}98\leq 1 e y-x=1{,}4\geq 1. Está de acordo.
Assim, a região é x^2+y^2\leq 1 e y-x\geq 1.
Alternativa C.
Por que as outras alternativas estão erradas
- Ausa y-x\leq 1, que descreve o lado da reta onde está a origem, o outro segmento do círculo.
- Busa x^2+y^2\geq 1, pontos fora do círculo, e a reta y+x=1 está no primeiro quadrante.
- Da reta y+x=1 passa por (1,0) e (0,1), não por (-1,0).
- Eusa x^2+y^2\geq 1 (fora do círculo) e a reta errada y+x=1.
Assuntos: inequações no plano cartesiano, equação da reta, círculo.
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