Questão 8 da FUVEST 2021

1ª fase

Um aplicativo de videoconferências estabelece, para cada reunião, um código de 10 letras, usando um alfabeto completo de 26 letras. A quantidade de códigos distintos possíveis está entre

Note e adote:
\log_{10} 13 \cong 1{,}114
1\text{ bilhão} = 10^9

  1. A
    10 bilhões e 100 bilhões.
  2. B
    100 bilhões e 1 trilhão.
  3. C
    1 trilhão e 10 trilhões.
  4. D
    10 trilhões e 100 trilhões.
  5. E
    100 trilhões e 1 quatrilhão.
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Resolução comentada

Cada uma das 10 posições do código pode receber qualquer uma das 26 letras, e as escolhas são independentes (letras podem se repetir). Pelo princípio multiplicativo, o total é 26^{10}.

Para saber a ordem de grandeza, usamos logaritmo na base 10. Como 26 = 2 \cdot 13:

  1. \log_{10} 26 = \log_{10} 2 + \log_{10} 13
  2. \log_{10} 2 \cong 0{,}301, então \log_{10} 26 \cong 0{,}301 + 1{,}114 = 1{,}415
  3. \log_{10} 26^{10} = 10 \cdot 1{,}415 = 14{,}15

Logo, 26^{10} \cong 10^{14{,}15} = 10^{14} \cdot 10^{0{,}15}, ou seja, um número entre 10^{14} e 10^{15}.

Agora convertemos as faixas das alternativas:

  • 100 trilhões = 10^{14} (pois 1 trilhão = 10^{12});
  • 1 quatrilhão = 10^{15}.

Como 10^{14} < 10^{14{,}15} < 10^{15}, a quantidade de códigos está entre 100 trilhões e 1 quatrilhão.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACorresponde a 10^{10} a 10^{11}, muito abaixo de 10^{14{,}15}.
  • BCorresponde a 10^{11} a 10^{12}, ordem de grandeza subestimada.
  • CCorresponde a 10^{12} a 10^{13}, ainda abaixo do valor real.
  • DCorresponde a 10^{13} a 10^{14}; o expoente real é 14,15, que passa de 10^{14}.

Assuntos: princípio multiplicativo, logaritmo, ordem de grandeza.

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