PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 7 da FUVEST 2021
Alice quer construir um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 60\text{ cm} \times 24\text{ cm} \times 18\text{ cm}, com a menor quantidade possível de cubos idênticos cujas medidas das arestas são números naturais. Quantos cubos serão necessários para construir esse paralelepípedo?
- A60
- B72
- C80
- D96
- E120
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Resolução comentada
Para preencher o paralelepípedo sem sobras com cubos idênticos, a aresta a do cubo precisa dividir as três dimensões: 60, 24 e 18. Ou seja, a é um divisor comum dos três números.
Quanto maior a aresta, menos cubos são necessários. Então escolhemos a maior aresta possível: o \text{mdc}(60, 24, 18).
- Fatoração: 60 = 2^2\cdot 3\cdot 5, 24 = 2^3\cdot 3, 18 = 2\cdot 3^2.
- Fatores comuns com os menores expoentes: 2^1\cdot 3^1 = 6. Logo, a = 6\ \text{cm}.
Agora contamos quantos cubos cabem em cada dimensão:
- 60 \div 6 = 10
- 24 \div 6 = 4
- 18 \div 6 = 3
O total de cubos é o produto:
Conferindo pelo volume: 60\cdot 24\cdot 18 = 25\,920\ \text{cm}^3 e cada cubo tem 6^3 = 216\ \text{cm}^3; 25\,920 \div 216 = 120. Confere.
Alternativa E.
Por que as outras alternativas estão erradas
- ACoincide com uma das dimensões (60), sem relação com a contagem de cubos de aresta 6 cm.
- BResultado que não corresponde ao volume total dividido pelo volume do cubo de aresta 6 cm.
- CNão resulta de nenhuma aresta que divida 60, 24 e 18; contagem incorreta.
- DValor que não corresponde ao cubo de aresta 6 cm; erro na contagem por dimensão.
Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Prismas e paralelepípedos.
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