Questão 15 da FUVEST 2020

Question

O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3\ \text{cm}. A fita tem espessura de 0{,}01\ \text{cm} e dá 100 voltas completas. Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da espessura da fita, o comprimento total da fita é de, aproximadamente,

Rolo de fita crepe em torno de um cilindro de papelão, com uma ponta da fita desenrolada. Uma seta indica o raio externo do cilindro central, de 3 cm, e duas setas indicam a espessura da fita, de 0,01 cm. Uma linha pontilhada atravessa o eixo do rolo.

A
9{,}4\ \text{m}.
B
11{,}0\ \text{m}.
C
18{,}8\ \text{m}.
D
22{,}0\ \text{m}.
E
25{,}1\ \text{m}.

Note e adote:
\pi \cong 3{,}14.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 da FUVEST 2020

1ª fase · Matemática: Progressão aritmética

O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3\ \text{cm}. A fita tem espessura de 0{,}01\ \text{cm} e dá 100 voltas completas. Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da espessura da fita, o comprimento total da fita é de, aproximadamente,

Rolo de fita crepe em torno de um cilindro de papelão, com uma ponta da fita desenrolada. Uma seta indica o raio externo do cilindro central, de 3 cm, e duas setas indicam a espessura da fita, de 0,01 cm. Uma linha pontilhada atravessa o eixo do rolo.

A
9{,}4\ \text{m}.
B
11{,}0\ \text{m}.
C
18{,}8\ \text{m}.
D
22{,}0\ \text{m}.
E
25{,}1\ \text{m}.

Note e adote:
\pi \cong 3{,}14.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Cada volta da fita forma uma circunferência, e o comprimento dela é 2\pi r. Como o raio aumenta 0{,}01\ \text{cm} a cada volta, os raios formam uma progressão aritmética.

Passo a passo:

Na 1ª volta, o raio é 3\ \text{cm} (o enunciado diz que o raio externo aumenta a cada volta; a aproximação usual é começar em 3 ou em 3,01, e a diferença é desprezível nas alternativas).
Na 100ª volta, o raio é 3 + 99\cdot 0{,}01 = 3{,}99\ \text{cm}.
O raio médio é \dfrac{3 + 3{,}99}{2} = 3{,}495\ \text{cm}, aproximadamente 3{,}5\ \text{cm}.
O comprimento total é 100 \cdot 2\pi \cdot 3{,}5:

C = 100 \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3{,}5 = 2\,198\ \text{cm} \approx 2\,200\ \text{cm}

Convertendo: 2\,200\ \text{cm} = 22\ \text{m}.

Como há 100 voltas, o raio médio vale cerca de 3{,}5\ \text{cm}, e não 3\ \text{cm} (que daria 18{,}8\ \text{m}, pois ignora o crescimento do rolo).

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem usa o raio de 3 cm em todas as voltas, esquecendo que o raio cresce a cada volta.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACalcula apenas 50 voltas com raio 3 cm, ou esquece o fator 2 no comprimento da circunferência.
BUsa \pi r em vez de 2\pi r, obtendo metade do valor correto.
CConsidera todas as 100 voltas com raio 3 cm, ignorando o aumento do raio.
EUsa um raio final maior que o real, como se o raio crescesse mais que 0,01 cm por volta.

Assuntos: Progressão aritmética, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova