Questão 16 da FUVEST 2020

Question

Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam-se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa-se \theta, a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando \theta = 90^\circ é A.

Esquema mostrando a deformação de um paralelogramo formado por quatro hastes articuladas: à esquerda, um retângulo com um ângulo reto indicado; uma seta para a direita leva à configuração inclinada, onde o menor ângulo interno está indicado por theta.

Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A/2, o valor de \theta é, necessariamente, igual a

A
15^\circ.
B
22{,}5^\circ.
C
30^\circ.
D
45^\circ.
E
60^\circ.

Answer 1

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Questão 16 da FUVEST 2020

1ª fase · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam-se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa-se \theta, a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando \theta = 90^\circ é A.

Esquema mostrando a deformação de um paralelogramo formado por quatro hastes articuladas: à esquerda, um retângulo com um ângulo reto indicado; uma seta para a direita leva à configuração inclinada, onde o menor ângulo interno está indicado por theta.

Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A/2, o valor de \theta é, necessariamente, igual a

A
15^\circ.
B
22{,}5^\circ.
C
30^\circ.
D
45^\circ.
E
60^\circ.

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Resolução comentada

A área de um paralelogramo com lados consecutivos a e b e ângulo \theta entre eles é S = a\cdot b\cdot \sen\theta. Como as hastes são rígidas, a e b não mudam quando o objeto se deforma; só o ângulo varia.

Com \theta = 90^\circ (retângulo): A = a\cdot b\cdot \sen 90^\circ = a\cdot b.
Para a área ser A/2:

a\cdot b\cdot \sen\theta = \frac{a\cdot b}{2}

Cancelando a\cdot b: \sen\theta = \dfrac{1}{2}.
Os ângulos com seno \frac12 são 30^\circ e 150^\circ. Como \theta é o menor ângulo interno do paralelogramo, ele não passa de 90^\circ (os ângulos consecutivos somam 180^\circ). Logo 150^\circ não serve, e \theta = 30^\circ.

Assim, \theta é necessariamente 30^\circ: o outro ângulo interno, 150^\circ, é o maior.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem pensa que área pela metade significa ângulo pela metade (90^\circ \to 45^\circ), ignorando que a área depende de \sen\theta, não de \theta.

Por que as outras alternativas estão erradas

A15^\circ dá \sen 15^\circ\approx 0{,}26, e não 0{,}5.
B22{,}5^\circ resulta de supor que o ângulo cai pela metade de 45^\circ; \sen 22{,}5^\circ\approx 0{,}38.
D\sen 45^\circ\approx 0{,}71, não 0{,}5; confunde reduzir a área pela metade com reduzir o ângulo pela metade.
E\sen 60^\circ\approx 0{,}87, área maior que A/2; trocou seno por cosseno.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Lei dos senos e lei dos cossenos.

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