PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 32 da FUVEST 2018
Considere o polinômio
em que a_0, \dots, a_{n-1} \in \mathbb{R}. Sabe-se que as suas n raízes estão sobre a circunferência unitária e que a_0 < 0.
O produto das n raízes de P(x), para qualquer inteiro n \geq 1, é:
- A-1
- Bi^n
- Ci^{n+1}
- D(-1)^n
- E(-1)^{n+1}
Você já respondeu questões neste aparelho. Crie sua conta grátis para guardar o histórico e refazer as que errou.
Resposta salva no seu histórico.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
Pelas relações de Girard, em um polinômio mônico de grau n o produto das raízes é (-1)^n a_0.
Agora usamos as duas informações do enunciado:
- Todas as raízes estão na circunferência unitária, ou seja, cada raiz tem módulo 1. O módulo do produto é então 1.
- O produto das raízes é (-1)^n a_0, número real (pois a_0\in\mathbb{R}). Seu módulo é |a_0|, logo |a_0| = 1.
Como a_0<0, temos a_0=-1.
Substituindo:
Conferência com n=1: P(x)=x+a_0, raiz x=-a_0=1. A fórmula dá (-1)^2=1. Certo.
Conferência com n=2: P(x)=x^2+a_1x-1, produto das raízes =-1. A fórmula dá (-1)^3=-1. Certo.
Alternativa E.
Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece de multiplicar por a_0=-1 e fica só com o fator (-1)^n de Girard.
Por que as outras alternativas estão erradas
- Avale só para n par; para n=1 o produto é 1, não -1.
- Bi^n não é real em geral, mas o produto é real, pois a_0 é real.
- Ci^{n+1} também não é real em geral, e o produto é real.
- Desquece que a_0=-1 e usa a_0=1, errando o sinal.
Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
