Questão 33 da FUVEST 2018

Question

O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.

Quadrilátero inscrito em uma circunferência, dividido por uma diagonal que corresponde a um diâmetro em dois triângulos. O ângulo entre a diagonal e o lado superior direito mede x, e o ângulo entre a diagonal e o lado inferior esquerdo mede y. A região do círculo externa ao quadrilátero está sombreada de cinza.

Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de x e y, é:

A
\pi + \sen(2x) + \sen(2y)
B
\pi - \sen(2x) - \sen(2y)
C
\pi - \cos(2x) - \cos(2y)
D
\pi - \dfrac{\cos(2x) + \cos(2y)}{2}
E
\pi - \dfrac{\sen(2x) + \sen(2y)}{2}

Answer 1

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Questão 33 da FUVEST 2018

1ª fase · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.

Quadrilátero inscrito em uma circunferência, dividido por uma diagonal que corresponde a um diâmetro em dois triângulos. O ângulo entre a diagonal e o lado superior direito mede x, e o ângulo entre a diagonal e o lado inferior esquerdo mede y. A região do círculo externa ao quadrilátero está sombreada de cinza.

Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de x e y, é:

A
\pi + \sen(2x) + \sen(2y)
B
\pi - \sen(2x) - \sen(2y)
C
\pi - \cos(2x) - \cos(2y)
D
\pi - \dfrac{\cos(2x) + \cos(2y)}{2}
E
\pi - \dfrac{\sen(2x) + \sen(2y)}{2}

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Resolução comentada

A área cinza é a área do círculo menos a área do quadrilátero. O círculo tem raio 1, então sua área é \pi.

Como a diagonal é um diâmetro, ela mede 2. Todo triângulo inscrito com um lado no diâmetro é retângulo (o ângulo oposto ao diâmetro é reto). O quadrilátero fica dividido em dois triângulos retângulos, ambos com hipotenusa 2.

Triângulo de cima, com ângulo x na extremidade direita do diâmetro: os catetos são 2\cos x (adjacente a x) e 2\sen x (oposto a x).

A_1=\frac{2\cos x\cdot 2\sen x}{2}=2\sen x\cos x=\sen(2x)

Triângulo de baixo, com ângulo y na extremidade esquerda: do mesmo modo,

A_2=2\sen y\cos y=\sen(2y)

Área do quadrilátero: \sen(2x)+\sen(2y).
Área cinza:

A=\pi-\sen(2x)-\sen(2y)

Confira com um caso simples: se x=y=45^\circ, o quadrilátero é um quadrado de diagonal 2, com área 2. A fórmula dá \sen 90^\circ+\sen 90^\circ=2, o que confere.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

Asoma a área do quadrilátero à do círculo em vez de subtraí-la.
Cusa cosseno de 2x e 2y, que não dá a área dos triângulos.
Dusa cosseno e ainda divide por 2, errando a fórmula da área.
Edivide por 2 a soma dos senos, esquecendo que 2\sen x\cos x=\sen 2x já inclui o fator 1/2 da área do triângulo.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Áreas e perímetros de polígonos.

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