Questão 25 da FUVEST 2018

Question

Sejam f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} e g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} definidas por

f(x) = \frac{1}{2} 5^x \quad \text{e} \quad g(x) = log_{10} x\ ,

respectivamente.

O gráfico da função composta g \circ f é:

Gráficos cartesianos no plano xy para as cinco alternativas: (A) reta crescente cruzando o eixo y abaixo da origem; (B) reta decrescente cruzando o eixo y abaixo da origem; (C) reta decrescente cruzando o eixo y acima da origem; (D) reta crescente cruzando o eixo y acima da origem; (E) reta horizontal paralela ao eixo x com y > 0.

As alternativas estão no enunciado, acima.

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 da FUVEST 2018

1ª fase · Matemática: Função afim

Sejam f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} e g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} definidas por

f(x) = \frac{1}{2} 5^x \quad \text{e} \quad g(x) = log_{10} x\ ,

respectivamente.

O gráfico da função composta g \circ f é:

Gráficos cartesianos no plano xy para as cinco alternativas: (A) reta crescente cruzando o eixo y abaixo da origem; (B) reta decrescente cruzando o eixo y abaixo da origem; (C) reta decrescente cruzando o eixo y acima da origem; (D) reta crescente cruzando o eixo y acima da origem; (E) reta horizontal paralela ao eixo x com y > 0.

As alternativas estão no enunciado, acima.

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

A composta g \circ f significa aplicar f primeiro e depois g: (g \circ f)(x) = g(f(x)) = \log_{10}\left(\frac{1}{2}\cdot 5^x\right).

Use a propriedade do logaritmo do produto, \log(ab) = \log a + \log b, e a do logaritmo da potência, \log a^n = n\log a:

\log_{10}\left(\frac{1}{2}\cdot 5^x\right) = \log_{10}\frac{1}{2} + \log_{10} 5^x
= -\log_{10} 2 + x\log_{10} 5

Logo, (g \circ f)(x) = (\log_{10} 5)\,x - \log_{10} 2, uma função afim (o gráfico é uma reta).

Coeficiente angular: \log_{10} 5 \approx 0{,}70 > 0, então a reta é crescente.
Coeficiente linear: -\log_{10} 2 \approx -0{,}30 < 0, então a reta corta o eixo y abaixo da origem. Conferindo: f(0) = \frac{1}{2} e g\left(\frac{1}{2}\right) < 0, pois \frac{1}{2} < 1.

Portanto, a reta é crescente e cruza o eixo y abaixo da origem, o que corresponde ao gráfico da alternativa A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bmostra reta decrescente, mas o coeficiente angular \log_{10}5 é positivo.
Creta decrescente e com intercepto positivo: erra o sinal de ambos os coeficientes.
Dreta crescente, mas com intercepto positivo; o correto é -\log_{10}2<0.
Ereta horizontal exigiria x não aparecer na expressão, mas há o termo x\log_{10}5.

Assuntos: Função afim, Logaritmos e função logarítmica.

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