Questão 26 da FUVEST 2018

Um triângulo exige três pontos não colineares. Então contamos todas as trincas possíveis e tiramos as que estão alinhadas.

Pela figura, a distribuição dos 12 pontos é esta:

• segmento vertical à esquerda: 2 pontos;
• segmento horizontal: 4 pontos, sem contar o vértice da esquerda nem o da direita, que não são pontos assinalados;
• segmento inclinado à direita: 2 pontos;
• segmento transversal: 4 pontos (2 acima e 2 abaixo do cruzamento, que não é ponto assinalado).

Soma: 2+4+2+4=12. Confere.

As únicas retas com 3 ou mais pontos são a horizontal (4 pontos) e a transversal (4 pontos). Os segmentos com 2 pontos não formam trinca colinear, e o enunciado garante que três pontos de segmentos distintos nunca são colineares.

1. Total de trincas: \binom{12}{3}=220.
2. Trincas colineares no segmento horizontal: \binom{4}{3}=4.
3. Trincas colineares no segmento transversal: \binom{4}{3}=4.
4. Triângulos: 220-4-4=212.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem só calcula \binom{12}{3}=220 e esquece de tirar as trincas alinhadas nos dois segmentos de 4 pontos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ADesconta trincas colineares demais, além das 8 que realmente existem.
• BDesconta trincas colineares demais, além das 8 que realmente existem.
• CDesconta 12 trincas em vez de 8, contando colineares que não existem.
• EEsquece de descontar as trincas colineares e fica só com \binom{12}{3}.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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