Questão 88 da FUVEST 2017

1ª fase

Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente,

Dados:
\pi é aproximadamente 3{,}14.
O volume V do cone circular reto de altura h e raio da base r é

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h.

  1. A
    4 horas e 50 minutos.
  2. B
    5 horas e 20 minutos.
  3. C
    5 horas e 50 minutos.
  4. D
    6 horas e 20 minutos.
  5. E
    6 horas e 50 minutos.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Se o reservatório está apoiado na base, o vértice do cone fica para cima. Ao encher, a água forma um tronco de cone, e não um cone pequeno. Por isso é mais fácil calcular o volume vazio e subtraí-lo do total.

O raio da base é r = 4\ \text{m} e a altura é h = 12\ \text{m}.

  1. Volume total: V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 12 = 64\pi\ \text{m}^3.

  2. Quando a água chega à metade da altura (6\ \text{m}), a parte vazia é um cone semelhante ao total, com razão de semelhança \frac{1}{2}. Seu volume é \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} do total: V_{vazio} = 8\pi\ \text{m}^3.

  3. Volume de água: 64\pi - 8\pi = 56\pi\ \text{m}^3. Com \pi \approx 3{,}14: 56 \cdot 3{,}14 = 175{,}84\ \text{m}^3.

  4. Conversão: 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}, então são 175\,840\ \text{L}.

  5. Tempo: \frac{175\,840}{500} \approx 351{,}7\ \text{min}, ou seja, 5\ \text{h} e 51{,}7\ \text{min}, aproximadamente 5 horas e 50 minutos.

Alternativa C.

Pegadinha: Quem trata a água como um cone de altura 6 m (volume 8\pi, cerca de 50 min) erra, pois o vértice do cone está para cima e a água forma um tronco.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum cálculo correto; o tempo obtido é bem maior que 4 h 50 min.
  • BFica abaixo do valor correto (cerca de 351 min); não vem do volume de 56\pi m³.
  • DPassa do valor correto (cerca de 351 min); não corresponde ao volume de água.
  • ECorresponde a cerca de 410 min, muito acima do volume real de água.

Assuntos: volume do cone, semelhança de sólidos, vazão.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 88 no caderno da FUVEST 2017