Questão 89 da FUVEST 2017

1ª fase

Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferências se interceptam em dois pontos distintos de coordenadas (x_1, y_1) e (x_2, y_2).

O valor de (x_1 + y_1)^2 + (x_2 + y_2)^2 é igual a

  1. A
    \dfrac{5}{2}
  2. B
    \dfrac{7}{2}
  3. C
    \dfrac{9}{2}
  4. D
    \dfrac{11}{2}
  5. E
    \dfrac{13}{2}
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Resolução comentada

Como as circunferências tangenciam os dois eixos no primeiro quadrante, o centro de cada uma é (r, r).

  • Raio 1: centro (1,1), equação (x-1)^2+(y-1)^2=1, ou seja, x^2+y^2-2x-2y+1=0.
  • Raio 2: centro (2,2), equação (x-2)^2+(y-2)^2=4, ou seja, x^2+y^2-4x-4y+4=0.

Os pontos de interseção satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Subtraindo a segunda da primeira, os termos x^2+y^2 se cancelam:

(-2x-2y+1)-(-4x-4y+4)=0 \Rightarrow 2x+2y-3=0 \Rightarrow x+y=\dfrac{3}{2}

Essa é a reta que contém os dois pontos de interseção. Logo, x_1+y_1=\dfrac{3}{2} e x_2+y_2=\dfrac{3}{2}.

Agora é só calcular:

\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2}

Os pontos são distintos, pois a distância entre os centros é \sqrt{2}, que está entre 2-1=1 e 2+1=3.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra a conta final; o valor de x+y é 3/2 para cada ponto, e a soma dos quadrados não dá 5/2.
  • BNão corresponde ao resultado correto; vem de erro ao subtrair as equações das circunferências.
  • DNão corresponde a 2\cdot(3/2)^2; supõe uma soma x+y incorreta.
  • ENão corresponde a 2\cdot(3/2)^2; supõe uma soma x+y incorreta.

Assuntos: circunferência, eixo radical, geometria analítica.

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