Questão 87 da FUVEST 2017

1ª fase

O polinômio P(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 5 possui uma raiz complexa \xi cuja parte imaginária é positiva. A parte real de \xi^3 é igual a

  1. A
    -11
  2. B
    -7
  3. C
    9
  4. D
    10
  5. E
    12
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Resolução comentada

Primeiro, procure uma raiz real do polinômio testando divisores do termo independente. Com x=1: P(1)=1-3+7-5=0, então x=1 é raiz.

Dividindo P(x) por (x-1):

x^3-3x^2+7x-5=(x-1)(x^2-2x+5)

As outras raízes saem de x^2-2x+5=0:

  1. \Delta = 4-20=-16
  2. x=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i

Como a raiz complexa pedida tem parte imaginária positiva, \xi=1+2i.

Agora calcule \xi^3, lembrando que i^2=-1:

  1. \xi^2=(1+2i)^2=1+4i+4i^2=-3+4i
  2. \xi^3=\xi^2\cdot\xi=(-3+4i)(1+2i)=-3-6i+4i+8i^2
  3. \xi^3=-3-8-2i=-11-2i

A parte real de \xi^3 é -11.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErro de sinal ou de conta no produto; -7 não resulta de (-3+4i)(1+2i).
  • CValor sem relação com o cálculo correto de \xi^3, que tem parte real negativa.
  • DNão corresponde à parte real de \xi^3; provavelmente vem de esquecer i^2=-1 ou errar sinais.
  • ETambém não resulta do produto correto; ignora que 8i^2=-8 e soma -3 a um termo errado.

Assuntos: polinômios, números complexos, raízes complexas.

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