Questão 84 da FUVEST 2017

Question

O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = 3 e BC = 4. O ponto P pertence ao lado \overline{BC} e BP = 1. Os pontos R, S e T pertencem aos lados \overline{AB}, \overline{CD} e \overline{AD}, respectivamente. O segmento \overline{RS} é paralelo a \overline{AD} e intercepta \overline{DP} no ponto Q. O segmento \overline{TQ} é paralelo a \overline{AB}.

Retângulo ABCD com vértices A (inferior esquerdo), B (inferior direito), C (superior direito) e D (superior esquerdo). O segmento DP conecta o vértice D ao ponto P sobre BC. O segmento tracejado vertical RS conecta AB em R a CD em S. O segmento tracejado horizontal TQ conecta AD em T à reta RS no ponto de interseção Q com DP. A medida do segmento AR está indicada como x.

Sendo x o comprimento de \overline{AR}, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo CQP e do triângulo DQS, para x variando no intervalo aberto ]0,3[, é

A
\frac{61}{8}
B
\frac{33}{4}
C
\frac{17}{2}
D
\frac{35}{4}
E
\frac{73}{8}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 84 da FUVEST 2017

1ª fase · Matemática: Função quadrática

O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = 3 e BC = 4. O ponto P pertence ao lado \overline{BC} e BP = 1. Os pontos R, S e T pertencem aos lados \overline{AB}, \overline{CD} e \overline{AD}, respectivamente. O segmento \overline{RS} é paralelo a \overline{AD} e intercepta \overline{DP} no ponto Q. O segmento \overline{TQ} é paralelo a \overline{AB}.

Retângulo ABCD com vértices A (inferior esquerdo), B (inferior direito), C (superior direito) e D (superior esquerdo). O segmento DP conecta o vértice D ao ponto P sobre BC. O segmento tracejado vertical RS conecta AB em R a CD em S. O segmento tracejado horizontal TQ conecta AD em T à reta RS no ponto de interseção Q com DP. A medida do segmento AR está indicada como x.

Sendo x o comprimento de \overline{AR}, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo CQP e do triângulo DQS, para x variando no intervalo aberto ]0,3[, é

A
\frac{61}{8}
B
\frac{33}{4}
C
\frac{17}{2}
D
\frac{35}{4}
E
\frac{73}{8}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Monte coordenadas com A=(0,0), B=(3,0), C=(3,4), D=(0,4). Como BP=1, temos P=(3,1). Então R=(x,0) e S=(x,4).

A reta DP vai de (0,4) a (3,1), com inclinação -1. Logo y = 4 - x, e Q=(x,\,4-x).

Agora calcule cada área:

Retângulo ARQT: base x e altura RQ = 4-x, então a área é x(4-x)=4x-x^2.
Triângulo DQS: é retângulo em S, com DS = x e QS = 4-(4-x)=x. A área é \frac{x^2}{2}.
Triângulo CQP: tomando CP = 3 como base (lado BC de y=1 a y=4), a altura é a distância horizontal de Q até CP, que é 3-x. A área é \frac{3(3-x)}{2}.

Soma:

S(x)=4x-x^2+\frac{x^2}{2}+\frac{9-3x}{2}=-\frac{x^2}{2}+\frac{5x}{2}+\frac{9}{2}

É uma parábola com concavidade para baixo, então o máximo está no vértice:

x_v=\frac{-5/2}{2\cdot(-1/2)}=\frac{5}{2}

O valor \frac{5}{2} está em ]0,3[. Substituindo:

S\left(\tfrac52\right)=-\frac{25}{8}+\frac{25}{4}+\frac{9}{2}=\frac{-25+50+36}{8}=\frac{61}{8}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor que não resulta da função correta da soma das áreas no vértice.
CValor sem relação com S(5/2); provavelmente erro ao calcular a área do triângulo CQP.
DValor obtido por erro de conta na soma das áreas, não coincide com o máximo.
EValor maior que o máximo real da parábola; provém de erro de sinal ou de área.

Assuntos: Função quadrática, Áreas e perímetros de polígonos.

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