Questão 85 da FUVEST 2017

1ª fase

Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado \overline{BC} e N o ponto médio do lado \overline{CD}. Os segmentos \overline{AM} e \overline{AC} interceptam o segmento \overline{BN} nos pontos E e F, respectivamente.

Retângulo ABCD com o ponto M no lado BC e N no lado CD. Os segmentos BN, AC e AM se interceptam, definindo os pontos de interseção F (entre AC e BN) e E (entre AM e BN).

A área do triângulo AEF é igual a

  1. A
    \frac{24}{25}
  2. B
    \frac{29}{30}
  3. C
    \frac{61}{60}
  4. D
    \frac{16}{15}
  5. E
    \frac{23}{20}
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Resolução comentada

Use coordenadas: A=(0,0), B=(4,0), C=(4,2), D=(0,2). Então M, ponto médio de BC, é (4,1), e N, ponto médio de CD, é (2,2).

As retas são:

  1. AM: passa pela origem com coeficiente \frac{1}{4}, logo y=\frac{x}{4}.
  2. AC: y=\frac{x}{2}.
  3. BN: passa por (4,0) e (2,2), logo y=-x+4.

Ponto E (AM\cap BN): \frac{x}{4}=4-x, então 5x=16 e x=\frac{16}{5}, y=\frac{4}{5}. Assim, E=\left(\frac{16}{5},\frac{4}{5}\right).

Ponto F (AC\cap BN): \frac{x}{2}=4-x, então 3x=8 e x=\frac{8}{3}, y=\frac{4}{3}. Assim, F=\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right).

Como A é a origem, a área é

\text{Área}=\frac{1}{2}\left|x_E y_F - x_F y_E\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{16}{5}\cdot\frac{4}{3}-\frac{8}{3}\cdot\frac{4}{5}\right|=\frac{1}{2}\left(\frac{64}{15}-\frac{32}{15}\right)=\frac{16}{15}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde ao determinante correto; resulta de erro nas coordenadas de E ou F.
  • BValor sem relação com o cálculo correto, obtido de erro de interseção.
  • CValor próximo do correto, mas fruto de erro aritmético no determinante.
  • ENão sai do cálculo correto; provável erro nas coordenadas dos pontos.

Assuntos: geometria analítica, área de triângulo, retas.

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