Questão 83 da FUVEST 2017

1ª fase

Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é

  1. A
    \frac{1}{4}
  2. B
    \frac{7}{24}
  3. C
    \frac{1}{3}
  4. D
    \frac{3}{8}
  5. E
    \frac{5}{12}
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Resolução comentada

Cada distribuição dos nomes é uma permutação dos 4 nomes, então o total de casos é 4! = 24.

Queremos as permutações em que ninguém tira o próprio nome (as chamadas permutações caóticas ou desarranjos). Vamos contá-las por inclusão-exclusão.

  1. Total de permutações: 4! = 24.
  2. Pelo menos uma pessoa tira o próprio nome: subtraímos os casos com 1 pessoa fixa, \binom{4}{1}\cdot 3! = 24.
  3. Somamos os casos com 2 pessoas fixas, \binom{4}{2}\cdot 2! = 12.
  4. Subtraímos os casos com 3 fixas, \binom{4}{3}\cdot 1! = 4.
  5. Somamos o caso com 4 fixas, \binom{4}{4}\cdot 0! = 1.

Número de desarranjos:

D_4 = 24 - 24 + 12 - 4 + 1 = 9

Confirmação: D_4 = 3\,(D_3 + D_2) = 3\,(2+1) = 9.

A probabilidade é

P = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde à contagem correta: 6 casos favoráveis em 24, em vez de 9.
  • BCorresponde a 7 casos favoráveis em 24, erro na contagem dos desarranjos.
  • CCorresponde a 8 casos em 24, contagem incompleta dos desarranjos.
  • ECorresponde a 10 casos em 24, contando um desarranjo a mais.

Assuntos: permutação caótica, probabilidade, princípio da inclusão-exclusão.

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