Questão 6 da FUVEST 2016

Question

No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x^2 e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a

A
2 + 2\sqrt{2}
B
3 + 2\sqrt{2}
C
4 + 2\sqrt{2}
D
5 + 2\sqrt{2}
E
6 + 2\sqrt{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 da FUVEST 2016

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x^2 e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a

A
2 + 2\sqrt{2}
B
3 + 2\sqrt{2}
C
4 + 2\sqrt{2}
D
5 + 2\sqrt{2}
E
6 + 2\sqrt{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O círculo tangencia as duas retas, então a distância de P a cada uma delas é o raio r. Igualamos essas distâncias.

Distância de P=(a,b) à reta x=0: r = a (pois a>0).
Distância de P à reta x-y=0: r = \dfrac{|a-b|}{\sqrt{2}}.
Como P está na parábola, b=a^2. Então:

a=\frac{|a-a^2|}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sqrt{2}\,a=|a-a^2|.
Dividindo por a>0: \sqrt{2}=|1-a|. Logo a=1+\sqrt{2} ou a=1-\sqrt{2}. A segunda é negativa, então a=1+\sqrt{2}.
Calculamos b=a^2:

b=(1+\sqrt{2})^2=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}.

Conferindo: b\approx 5{,}83 e a\approx 2{,}41, então |a-b|\approx 3{,}41 e 3{,}41/\sqrt{2}\approx 2{,}41=a. Confere.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem justificativa; não satisfaz b=a^2 com a=1+\sqrt{2}.
CErro de conta ao elevar (1+\sqrt{2}) ao quadrado, somando 4 em vez de 3.
DErro de conta no quadrado, somando 5 em vez de 3.
EErro de conta no quadrado, somando 6 em vez de 3.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Função quadrática.

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