Questão 5 da FUVEST 2016

1ª fase

Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja 1/3?

  1. A
    2
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    10
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Resolução comentada

Se a caixa tem 6 bolas azuis e x vermelhas, o total é 6+x. Retirando 2 bolas sem reposição, a probabilidade de as duas serem azuis é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis.

Casos favoráveis: escolher 2 entre as 6 azuis, \binom{6}{2}=15.

Casos possíveis: escolher 2 entre as 6+x bolas, \binom{6+x}{2}=\dfrac{(6+x)(5+x)}{2}.

A condição do problema é:

\frac{15}{\frac{(6+x)(5+x)}{2}}=\frac{1}{3}
  1. Simplificando: \dfrac{30}{(6+x)(5+x)}=\dfrac{1}{3}.
  2. Multiplicando em cruz: (6+x)(5+x)=90.
  3. Procuramos dois números consecutivos cujo produto seja 90: 10\cdot 9. Logo 6+x=10 e x=4.

Conferindo com x=4: são 10 bolas no total, e \dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac{30}{90}=\dfrac{1}{3}. Está correto.

Portanto, devem ser acrescentadas 4 bolas vermelhas.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom 2 vermelhas há 8 bolas e a probabilidade é \frac{6}{8}\cdot\frac{5}{7}=\frac{15}{28}, bem maior que \frac13.
  • CCom 6 vermelhas há 12 bolas e a probabilidade é \frac{6}{12}\cdot\frac{5}{11}=\frac{5}{22}, menor que \frac13.
  • DCom 8 vermelhas há 14 bolas e a probabilidade é \frac{6}{14}\cdot\frac{5}{13}=\frac{15}{91}, muito menor que \frac13.
  • ECom 10 vermelhas há 16 bolas e a probabilidade é \frac{6}{16}\cdot\frac{5}{15}=\frac18, longe de \frac13.

Assuntos: probabilidade, combinatória.

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