Questão 30 da FUVEST 2013

1ª fase

O mapa de uma região utiliza a escala de 1 : 200\text{ }000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual \overline{AF} e \overline{DF} são segmentos de reta, o ponto G está no segmento \overline{AF}, o ponto E está no segmento \overline{DF}, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF = 15, AG = 12, AB = 6, CD = 3 e DF = 5\sqrt{5} indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é

Representação da porção do mapa com a Área de Preservação Permanente (APP), formada pelos pontos A, B, C, D, E, F e G. Mostra o retângulo ABEG, o trapézio BCDE abaixo dele e o segmento DF passando por E até alcançar a reta AF no ponto F. Abaixo da figura: Obs: Figura ilustrativa, sem escala.

  1. A
    100\ km^2
  2. B
    108\ km^2
  3. C
    210\ km^2
  4. D
    240\ km^2
  5. E
    444\ km^2
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Resolução comentada

Vamos dividir a APP em três partes: o retângulo ABEG, o triângulo GEF e o trapézio BCDE. Todas as medidas estão em cm no mapa.

  1. Retângulo ABEG: AG = 12 e AB = 6, logo a área é 12 \cdot 6 = 72\ \text{cm}^2.

  2. Triângulo GEF: é retângulo em G, pois GE \parallel AB e AB \perp AF. Temos GE = AB = 6 e GF = AF - AG = 15 - 12 = 3. A hipotenusa é EF = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}. Área: \dfrac{3 \cdot 6}{2} = 9\ \text{cm}^2.

  3. Trapézio BCDE: as bases são BE = 12 e CD = 3, paralelas. Falta a altura. Como DF = 5\sqrt{5} e EF = 3\sqrt{5}, temos DE = 2\sqrt{5}. O triângulo GEF tem catetos 6 (vertical) e 3 (horizontal); DE está na mesma reta de EF, então a razão é DE/EF = 2/3. A altura do trapézio (componente vertical de ED) é \dfrac{2}{3} \cdot 6 = 4.

Área: \dfrac{(12 + 3)\cdot 4}{2} = 30\ \text{cm}^2.

Total no mapa: 72 + 9 + 30 = 111\ \text{cm}^2.

Escala: 1\ \text{cm} no mapa vale 200\,000\ \text{cm} = 2\ \text{km}. A área fica multiplicada por 2^2 = 4: 1\ \text{cm}^2 \to 4\ \text{km}^2.

Área real: 111 \cdot 4 = 444\ \text{km}^2.

Alternativa E.

Pegadinha: Converter a escala apenas por fator linear (2 km por cm) sem elevar ao quadrado para a área, e esquecer o triângulo e o trapézio, levam a valores errados.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma combinação correta das áreas e da escala.
  • BNão corresponde ao cálculo correto; ignora partes da figura.
  • CValor sem relação com a soma das três áreas convertida pela escala.
  • DOmite parte da figura ou erra a altura do trapézio.

Assuntos: áreas de figuras planas, escala, semelhança de triângulos.

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