Questão 29 da FUVEST 2013

1ª fase

Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda per capita desse país. Suponha que a população de um país cresça à taxa constante de 2% ao ano. Para que sua renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer anualmente à taxa constante de, aproximadamente,

Dado: \sqrt[20]{2} \cong 1{,}035.

  1. A
    4,2%
  2. B
    5,6%
  3. C
    6,4%
  4. D
    7,5%
  5. E
    8,9%
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Resolução comentada

A renda per capita é \frac{\text{PIB}}{\text{população}}. Crescimento constante de i ao ano é uma progressão geométrica: após n anos, o valor fica multiplicado por (1+i)^n.

  1. A população cresce 2% ao ano, então em 20 anos ela fica multiplicada por (1{,}02)^{20}.
  2. O PIB cresce à taxa i, então fica multiplicado por (1+i)^{20}.
  3. A renda per capita deve dobrar:
\frac{(1+i)^{20}}{(1{,}02)^{20}} = 2
  1. Isso equivale a \left(\frac{1+i}{1{,}02}\right)^{20} = 2. Tirando a raiz vigésima:
\frac{1+i}{1{,}02} = \sqrt[20]{2} \cong 1{,}035
  1. Então:
1+i \cong 1{,}035 \cdot 1{,}02 = 1{,}0557
  1. Logo i \cong 0{,}0557, ou seja, cerca de 5,6% ao ano.

Observe que as taxas não se somam: 2\% + 3{,}5\% = 5{,}5\% seria só uma aproximação. O correto é multiplicar os fatores, e o resultado, 5,57%, é o mais próximo de 5,6%.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AParece subtrair 2% de algo ou errar a conta; o fator correto é 1,035·1,02, não dá 4,2%.
  • CNão corresponde ao produto 1,035·1,02; seria obtido com erro de arredondamento ou de fator.
  • DValor muito alto, que não sai de 1,035·1,02 = 1,0557.
  • EValor muito alto, resultado de erro na conta da taxa composta.

Assuntos: juros compostos, progressão geométrica, taxa de crescimento.

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