Questão 31 da FUVEST 2013

1ª fase

Seja f uma função a valores reais, com domínio D \subset \mathbb{R}, tal que f(x) = \log_{10}(\log_{1/3} (x^2 - x + 1)), para todo x \in D.

Gráficos da função logarítmica de base a: à esquerda, para a > 1, curva crescente que intercepta o eixo x em 1; à direita, para 0 < a < 1, curva decrescente que intercepta o eixo x em 1.

O conjunto que pode ser o domínio D é

  1. A
    \{x \in \mathbb{R} \,;\, 0 < x < 1\}
  2. B
    \{x \in \mathbb{R} \,;\, x \le 0 \text{ ou } x \ge 1\}
  3. C
    \left\{x \in \mathbb{R} \,;\, \dfrac{1}{3} < x < 10\right\}
  4. D
    \left\{x \in \mathbb{R} \,;\, x \le \dfrac{1}{3} \text{ ou } x \ge 10\right\}
  5. E
    \left\{x \in \mathbb{R} \,;\, \dfrac{1}{9} < x < \dfrac{10}{3}\right\}
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Resolução comentada

Para o logaritmo externo existir, o logaritmando precisa ser positivo: \log_{1/3}(x^2-x+1) > 0. Para o interno existir, é preciso x^2-x+1>0.

  1. Como a base \tfrac13 está entre 0 e 1, o gráfico da direita mostra que a função é decrescente e positiva apenas para 0<x<1. Logo \log_{1/3}(u)>0 exige 0<u<1.

  2. Aqui u = x^2-x+1. A condição u>0 vale sempre, pois o discriminante é 1-4=-3<0 e a parábola é voltada para cima.

  3. Falta u<1: x^2-x+1<1 \Rightarrow x^2-x<0 \Rightarrow x(x-1)<0 \Rightarrow 0<x<1.

O domínio máximo é, então, \{x\in\mathbb{R};\ 0<x<1\}, que é a alternativa A. As outras alternativas contêm valores que violam a condição, como x=0 na B, onde u=1 e \log_{1/3}1=0, e o \log_{10}0 não existe.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BInclui x\le0 ou x\ge1, onde x^2-x\ge0, logo u\ge1 e o log na base 1/3 é \le 0, não positivo.
  • CConfunde o domínio com valores 1/3 e 10 das bases/logaritmo externo; não resolve 0<x^2-x+1<1.
  • DMesmo erro de C, com desigualdades invertidas; ignora a condição x(x-1)<0.
  • EIntervalo sem relação com a condição; inclui, por exemplo, x=2, que dá u=3>1 e log negativo.

Assuntos: função logarítmica, domínio de funções, inequação quadrática.

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