Questão 23 da FUVEST 2011

Question

Seja x > 0 tal que a sequência a_1 = \log_2 x, a_2 = \log_4(4x), a_3 = \log_8(8x) forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então, a_1 + a_2 + a_3 é igual a

A
\frac{13}{2}
B
\frac{15}{2}
C
\frac{17}{2}
D
\frac{19}{2}
E
\frac{21}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 da FUVEST 2011

1ª fase · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Seja x > 0 tal que a sequência a_1 = \log_2 x, a_2 = \log_4(4x), a_3 = \log_8(8x) forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então, a_1 + a_2 + a_3 é igual a

A
\frac{13}{2}
B
\frac{15}{2}
C
\frac{17}{2}
D
\frac{19}{2}
E
\frac{21}{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Para que três termos formem uma PA, o termo do meio é a média dos extremos: 2a_2 = a_1 + a_3. Vamos escrever tudo com logaritmo na base 2, chamando t = \log_2 x.

a_1 = \log_2 x = t.
a_2 = \log_4(4x) = \dfrac{\log_2(4x)}{\log_2 4} = \dfrac{2 + t}{2}.
a_3 = \log_8(8x) = \dfrac{\log_2(8x)}{\log_2 8} = \dfrac{3 + t}{3}.

Aplicando a condição da PA:

2\cdot\frac{2+t}{2} = t + \frac{3+t}{3}

2 + t = t + 1 + \frac{t}{3}

1 = \frac{t}{3} \Rightarrow t = 3

Logo x = 2^3 = 8 e os termos são:

a_1 = 3
a_2 = \dfrac{5}{2}
a_3 = \dfrac{6}{3} = 2

Conferindo: razão -\dfrac{1}{2} entre os termos, então é PA mesmo.

Soma: 3 + \dfrac{5}{2} + 2 = \dfrac{15}{2}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a soma correta; provável erro de conta ao somar os termos 3, \frac52 e 2.
CResultado de erro na mudança de base, que altera os valores de a_2 ou a_3.
DTambém decorre de erro nas mudanças de base ou na soma, sem conferir a PA.
EValor grande demais, que não corresponde à soma 3+\frac52+2.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Progressão aritmética.

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