Questão 22 da FUVEST 2011

1ª fase

No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de \overline{AB}, N é o ponto médio de \overline{BC} e MN = \sqrt{14}/4. Então, DM é igual a

Losango ABCD com vértices A, B, C e D no sentido anti-horário a partir do canto inferior esquerdo. M é o ponto médio do lado AB e N é o ponto médio do lado BC. Estão traçados os segmentos de reta DM e MN.

  1. A
    \dfrac{\sqrt{2}}{4}
  2. B
    \dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. C
    \sqrt{2}
  4. D
    \dfrac{3\sqrt{2}}{2}
  5. E
    \dfrac{5\sqrt{2}}{2}
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Resolução comentada

Conceito: em um triângulo, o segmento que liga os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e mede metade dele. Além disso, a lei dos cossenos relaciona lados e ângulo.

  1. No triângulo ABC, M e N são pontos médios de AB e BC, então MN = \dfrac{AC}{2}. Como MN = \dfrac{\sqrt{14}}{4}, temos AC = \dfrac{\sqrt{14}}{2}.

  2. Seja \theta o ângulo \hat{B} do losango. No triângulo ABC, com AB = BC = 1, a lei dos cossenos dá:

    AC^2 = 1 + 1 - 2\cos\theta = 2 - 2\cos\theta

    Como AC^2 = \dfrac{14}{4} = \dfrac{7}{2}:
    2 - 2\cos\theta = \dfrac{7}{2} \Rightarrow \cos\theta = -\dfrac{3}{4}

  3. O ângulo \hat{A} é suplementar de \hat{B}, então \cos A = \dfrac{3}{4}.

  4. No triângulo AMD: AD = 1, AM = \dfrac{1}{2} e o ângulo em A tem cosseno \dfrac{3}{4}:

    DM^2 = 1 + \dfrac{1}{4} - 2\cdot 1\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}

  5. Logo DM = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AParece vir de DM^2=1/8 ou de racionalizar errado; o valor correto de DM^2 é 1/2.
  • CEsquece a raiz: toma \sqrt{2} em vez de \sqrt{1/2}, ou erra o fator AM=1/2.
  • DValor grande demais, maior que o lado e a diagonal possíveis; não sai de nenhuma conta coerente.
  • EValor impossível, pois DM seria maior que AD+AM=3/2.

Assuntos: lei dos cossenos, base média de triângulo, losango.

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