Questão 24 da FUVEST 2011

1ª fase

Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale

Polígono DEFGHI composto por um triângulo equilátero central ABC, três quadrados ACDE, AFGB e BHIC em seus lados, e segmentos unindo os vértices externos formando o hexágono DEFGHI.

  1. A
    1 + \sqrt{3}
  2. B
    2 + \sqrt{3}
  3. C
    3 + \sqrt{3}
  4. D
    3 + 2\sqrt{3}
  5. E
    3 + 3\sqrt{3}
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

O polígono DEFGHI é formado por: o triângulo ABC, os três quadrados e três triângulos "de canto" (AEF, BGH, CID), que ficam entre os quadrados.

Passo a passo:

  1. Triângulo ABC, equilátero de lado 1: \dfrac{1^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.

  2. Três quadrados de lado 1: área total 3.

  3. Triângulo de canto, por exemplo AEF, com vértice em A. Os lados AE e AF medem 1 (lados dos quadrados). Em torno do ponto A, os ângulos somam 360^\circ: o quadrado ACDE dá 90^\circ, o quadrado AFGB dá 90^\circ e o triângulo ABC dá 60^\circ. Sobra para o ângulo EAF: 360^\circ-90^\circ-90^\circ-60^\circ=120^\circ.

  4. Área de AEF: \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sen 120^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.

  5. Os três triângulos de canto são iguais: 3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}.

Soma:

\frac{\sqrt{3}}{4}+3+\frac{3\sqrt{3}}{4}=3+\sqrt{3}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece os três quadrados, ou erra a soma das áreas, chegando a 1+\sqrt{3}.
  • BSoma valores incorretos dos triângulos de canto, por exemplo usando ângulo errado, e obtém 2+\sqrt{3}.
  • DSuperestima as áreas dos triângulos (por exemplo, usa área \sqrt{3}/2 para cada um).
  • EUsa \sqrt{3} em vez de \sqrt{3}/4 para cada triângulo, o que supera o valor real.

Assuntos: área de polígonos, áreas de triângulos, ângulos em torno de um ponto.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 24 no caderno da FUVEST 2011