PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 32 da FUVEST 2007

1ª fase · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Na figura, OAB é um setor circular com centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento \overline{\text{CD}} é tangente em X ao arco de extremos A e B do setor circular. Se \text{AB} = 2\sqrt{3} e \text{AD} = 1, então a área do setor OAB é igual a

Construção geométrica mostrando um setor circular OAB com vértice O voltado para baixo e arco AB voltado para cima. Acima do segmento AB está o retângulo ABCD, cujo lado superior CD tangencia o arco AB no ponto X.

  1. A
    \pi/3
  2. B
    2\pi/3
  3. C
    4\pi/3
  4. D
    5\pi/3
  5. E
    7\pi/3
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Resolução comentada

Seja R o raio do setor. Como \overline{CD} é tangente ao arco em X, o raio OX é perpendicular a CD, e portanto também a AB (que é paralelo a CD). Então OX passa pelo ponto médio M de AB.

A distância de X a AB é a altura do retângulo, MX = AD = 1.

  1. AM = \frac{AB}{2} = \sqrt{3}.
  2. OM = OX - MX = R - 1.
  3. No triângulo retângulo OMA: R^2 = (R-1)^2 + (\sqrt{3})^2.
  4. Desenvolvendo: R^2 = R^2 - 2R + 1 + 3, logo 2R = 4 e R = 2.

Ângulo do setor: \sen\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{AM}{OA} = \frac{\sqrt{3}}{2}, então \frac{\theta}{2} = 60^\circ e \theta = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}.

Área do setor:

A = \frac{\theta R^2}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}\cdot 4}{2} = \frac{4\pi}{3}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa fração da área errada, como se o setor fosse 60^\circ com raio 1, ou erra o raio.
  • BUsa o ângulo correto 2\pi/3 mas esquece de multiplicar por R^2/2 com R=2, tratando como raio 1.
  • DValor sem relação com o raio 2 e o ângulo de 120^\circ; resulta de erro de conta.
  • EValor sem relação com o raio 2 e o ângulo de 120^\circ; resulta de erro de conta.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Teorema de Pitágoras e relações métricas, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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