Questão 33 da FUVEST 2007

1ª fase

A figura representa um retângulo ABCD, com \text{AB} = 5 e \text{AD} = 3. O ponto E está no segmento \overline{\text{CD}} de maneira que \text{CE} = 1, e F é o ponto de interseção da diagonal \overline{\text{AC}} com o segmento \overline{\text{BE}}.

Então a área do triângulo BCF vale

Retângulo ABCD com lados verticais AD e BC, e horizontais AB e CD. O ponto E está sobre o lado superior CD. A diagonal AC e o segmento BE se cruzam no ponto F.

  1. A
    6/5
  2. B
    5/4
  3. C
    4/3
  4. D
    7/5
  5. E
    3/2
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Resolução comentada

Como \overline{CD} é paralelo a \overline{AB}, os triângulos CEF e ABF são semelhantes (ângulos opostos pelo vértice em F e ângulos alternos internos iguais).

A razão de semelhança é \dfrac{CE}{AB} = \dfrac{1}{5}. Logo, as alturas relativas a essas bases também estão na razão 1:5.

A distância entre as retas paralelas CD e AB é BC = 3. Essa distância se divide pelo ponto F na razão 1:5:

h_{CEF} + h_{ABF} = 3, \quad h_{ABF} = 5\,h_{CEF}

Então 6\,h_{CEF} = 3, e h_{ABF} = \dfrac{5}{2}, que é a distância de F ao lado AB.

O triângulo BCF tem base BC = 3 (lado vertical). Sua altura é a distância de F à reta BC, que é horizontal, medida a partir de F.

Vamos usar coordenadas: A=(0,0), B=(5,0), C=(5,3), E=(4,3).

  1. Reta AC: y = \dfrac{3}{5}x.
  2. Reta BE: passa por (5,0) e (4,3), com inclinação -3: y = -3(x-5).
  3. Igualando: \dfrac{3}{5}x = -3x + 15 \Rightarrow \dfrac{18}{5}x = 15 \Rightarrow x = \dfrac{25}{6}.

A distância de F à reta BC (x=5) é 5 - \dfrac{25}{6} = \dfrac{5}{6}.

Área:

\text{Área} = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot\frac{5}{6} = \frac{5}{4}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResultado que não sai de nenhuma etapa correta; provavelmente usa a altura errada para o triângulo BCF.
  • CValor sem correspondência com a altura correta 5/6; erro na razão de semelhança.
  • DNão decorre da posição correta de F; erro de cálculo na interseção.
  • ECorresponde a usar altura 1 em vez de 5/6, ignorando a posição real de F.

Assuntos: semelhança de triângulos, geometria analítica, área de triângulo.

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