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Questão 26 da FUVEST 2006

1ª fase · Matemática: Progressão aritmética

Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é

  1. A
    9
  2. B
    11
  3. C
    12
  4. D
    13
  5. E
    15
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Resolução comentada

Numa PA de três termos, escreva os termos como a-r, a e a+r. A soma é 3a=30, logo a=10. A PA é 10-r,\ 10,\ 10+r.

Somando 4, -4 e -9, respectivamente, obtemos:

14-r,\quad 6,\quad 1+r

Esses números estão em PG, então o quadrado do termo do meio é o produto dos extremos:

  1. 6^2=(14-r)(1+r)
  2. 36=14+14r-r-r^2=14+13r-r^2
  3. r^2-13r+22=0
  4. r=\dfrac{13\pm\sqrt{169-88}}{2}=\dfrac{13\pm 9}{2}, ou seja, r=11 ou r=2.

Com r=11, a PA seria -1,\ 10,\ 21, que tem termo negativo. Isso contraria o enunciado, que pede números positivos.

Com r=2, a PA é 8,\ 10,\ 12. Conferindo a PG: 12,\ 6,\ 3, de razão \tfrac12. Está correta.

Os termos da PA são 8, 10 e 12. Entre as alternativas, aparece o 12.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana: r=11 é raiz da equação, mas leva à PA -1, 10, 21, que não é positiva; 11 só aparece como razão descartada.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A9 não é termo de nenhuma PA obtida, que é 8, 10, 12.
  • B11 não aparece na PA válida; confunde com a razão r=11, que gera termo negativo.
  • D13 não é termo da PA 8, 10, 12.
  • E15 não é termo da PA 8, 10, 12.

Assuntos: Progressão aritmética, Progressão geométrica.

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