Questão 27 da FUVEST 2006

Question

O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem t^2 - t - 6 = 0, onde t = |x - y|, consiste de

A
uma reta.
B
duas retas.
C
quatro retas.
D
uma parábola.
E
duas parábolas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 da FUVEST 2006

1ª fase · Matemática: Função modular

O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem t^2 - t - 6 = 0, onde t = |x - y|, consiste de

A
uma reta.
B
duas retas.
C
quatro retas.
D
uma parábola.
E
duas parábolas.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Primeiro resolvemos a equação do segundo grau em t:

t^2 - t - 6 = 0 \Rightarrow t = \frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}

Logo t = 3 ou t = -2.

Agora lembre que t = |x - y|, e um módulo nunca é negativo. Por isso:

t = -2 não serve, pois |x-y| = -2 é impossível.
t = 3 serve: |x - y| = 3.

A equação |x-y| = 3 significa x - y = 3 ou x - y = -3.

Cada uma dessas equações é uma reta: y = x - 3 e y = x + 3. Elas têm o mesmo coeficiente angular (1) e coeficientes lineares diferentes, então são retas paralelas distintas.

Portanto, o conjunto é formado por duas retas.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem aceita as duas raízes t=3 e t=-2 e dobra cada uma pelo módulo, esquecendo que |x-y| não pode ser negativo.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aconsidera só uma das duas retas, esquecendo que o módulo gera x-y=3 e x-y=-3.
Cconta duas retas para cada raiz, mas t=-2 é impossível e não gera reta.
Da equação é linear em x e y, nunca gera parábola.
Enão há termo quadrado em x ou y; o conjunto não é formado por parábolas.

Assuntos: Função modular, Equação do 2º grau.

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